1、函数的最大(小)值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1函数y在0，2上的最大值是()A当x1时，y B当x2时，yC当x0时，y0 D当x时，y【解析】选A.因为y，所以当y0时，x1.又因为当0x0，当1x2时，y0，所以x1是y的极大值点，所以在0，2上ymax.2函数f(x)2，x(0，5的最小值为()A2 B3 C D2【解析】选B.由f(x)0，得x1，且x(0，1)时，f(x)0，所以x1时，f(x)最小，最小值为f(1)3.3若函数yx3x2m在2，1上的最大值为，则m等于()A0 B1 C2 D【解题指南】先求出函数yx3x2m在2，1上的最大值，再依据题设条
2、件可得到关于m的方程，解方程即得出m的值.【解析】选C.y3x23x3x(x1).由y0，得x0或x1.因为f(0)m，f(1)m.f(1)m，f(2)86mm2，所以f(1)m最大所以m.所以m2.4当函数yx2cos x在上取得最大值时，x的值为()A0 B C D【解析】选B.y(x2cos x)12sin x.令x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x时，取得最大值5设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x(0，1，都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为()Aa4 Ba4 Ca4 Da4【解析】选B.因为x(0，1，所以f(x)0，可
3、化为a，设g(x)，则g(x).令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以g(x)在(0，1上有极大值g4，它也是最大值，故a4.6已知函数f(x)(bR)，若存在x，使得f(x)xf(x)，则实数b的取值范围是()A(，) BC D(，3)【解析】选C.由f(x)xf(x)，得(xf(x)0，所以若存在x，使得f(x)xf(x)，则2(xb)0在x上有解，即bx在x上有解令g(x)x，则原不等式等价于x，bg(x)max，而利用导数求函数最值，可得g(x)max2，故b16，所以ff(2)0.所以f(x)在上的最大值为f1ln 2，最小值为0.10已知a是实数，函数
4、f(x)x2(xa).(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0，2上的最大值【解析】(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0，2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0，2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max(35分钟
5、70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1若函数f(x)x36bx3b在(0，1)内有最小值，则实数b的取值范围为()A(0，1) B(，1) C(0，) D【解析】选D.由题意得函数f(x)x36bx3b的导函数f(x)3x26b在(0，1)内有零点，且f(0)0，即6b0，所以0b.2函数f(x)x33x1，若对于区间3，2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0【解析】选A.因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，所以1，1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3，2
6、上f(x)max1，f(x)min19.又由题设知在区间3，2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.3(2021漳州高二检测)已知函数f(x)exex，给出以下结论：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)的最大值为2；(3)当f(x)取到最小值时对应的x0；(4)f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减其中正确的结论是()A(1)(2) B(1)(2)(4) C(1)(3) D(1)(4)【解析】选C.因为函数f(x)exex，xR，所以f(x)exexf(x)，所以函数f(x)是R上的偶函数，故(1)正确；因为f(x)exexex， 令f(x)0得，e
7、x1，x0，所以当x(，0)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，且f(0)2，画出函数f(x)的大致图象，如图所示：所以函数f(x)的最小值为2，故(2)错误，(3)正确，(4)错误4已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)【解析】选A.令u(x)f(x)g(x)，则u(x)f(x)g(x)0，所以u(x)在a，b上为减函数，所以u(x)的最大值为u(a)f(a)g(a).二、填空题(每小题5分，共20分)5函数f(x)ax32ax1在区间3
8、，2上有最大值4，则实数a_.【解析】f(x)3ax22aa(3x22).当a0时，f(x)0，所以f(x)maxf(2)8a4a14，解得a；当a0时，f(x)0，所以(x)在(0，1上递增，(x)max(1)6，所以a6.当x2，0)时，a，所以a.仍设(x)，x2，0).(x).当x2，1)时，(x)0.所以当x1时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)2，所以a2.综上知6a2.答案：6，28若函数f(x)ax sin x(aR)，且在区间上的最大值为，则实数a的值为_【解析】由已知得f(x)a(sin xx cos x)，对于任意的x，有sin xx cos x0，当a0时
9、，f(x)，不符合题意，当a0时，在上，f(x)0，从而f(x)在上单调递减，所以f(x)在上的最大值为f(0)，不符合题意，当a0时，在上，f(x)0，从而f(x)在上单调递增，所以f(x)在上的最大值为fa，解得a1.答案：1三、解答题(每小题10分，共30分)9已知函数f(x)ax36ax2b，x1，2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值【解析】由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去).(1)当a0，且x变化时f(x)，f(x)的变化情况如表：由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函
10、数在1，2上的最大值，所以f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，所以f(2)16a329，解得a2.(2)当af(1)，所以f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.10已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)，(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2，6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围【解析】(1)f(x)3x22axb.因为函数f(x)在x1和x3处取得极值，所以1，3是方程3x22axb0的两根所以所以(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当x变化时
11、，f(x)，f(x)的变化情况如表：而f(2)c2，f(6)c54，所以当x2，6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0时，c5454；当c0时，c542c，所以c18，故c的取值范围为(，18)(54，).11(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，f (x)aex.由题设知，f (2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f (x)ex.当0x2时，f (x)2时，f (x)0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当时a时，f(x)0.
