1、易混易错练易错点1选错回归模型致错1.(2020山西康杰中学高二下月考,)在一次抽样调查中测得5组成对数据,其数值及散点图如下:x0.250.5124y1612521(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+kx-1哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,试建立y与x的经验回归方程;(计算结果保留整数)(3)在(2)的条件下,设z=y+x且x4,+),试求z的最小值.参考公式:经验回归方程y=bx+a中,b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx
2、.易错点2求2用错公式致错2.(2020河南郑州高二下第一次联考,)为了解人们对延迟退休年龄政策的态度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这100人中不支持延迟退休年龄政策的人数与年龄的统计结果如下表所示.年龄不支持延迟退休年龄政策的人数15,25)1525,35)535,45)1545,55)2355,6517(1)由频率分布直方图,估计这100人年龄的平均数(同一组数据用该区间的中点值代表);(2)根据以上统计数据填写下面的22列联表,并依据=0.05的独立性检验,分析以45岁为分界点的不同人群对延迟退休年龄政策的态度是否存在差异.单
3、位:人45岁以下45岁及以上合计不支持支持合计附表及公式:0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.8282=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2020江西百所名校高三第四次联考,)今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情扩散,做好重点人群的预防工作,某地区共统计返乡人员100人,其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10人,其中50岁以下的人占310.(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率;(2)请将下面的列联表补充完整,并
4、依据=0.05的独立性检验,分析确诊患新冠肺炎与年龄是否有关.单位:人确诊患新冠肺炎未确诊患新冠肺炎合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式:0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.8282=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.4.(2020重庆高三上期末,)某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想,扶贫工作小组经过多方调研,综合该地区的气候、地质、地理位置等特点,决定向当地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根据市场前景重点考察了A,B两种景观树苗,
5、为对比两种树苗的成活率,工作小组进行了引种试验,分别引种树苗A,B各50株,试验发现有80%的树苗成活,未成活的树苗A,B株数之比为13.(1)完成下面的22列联表,依据=0.01的独立性检验,分析树苗A,B的成活率是否有差异;树苗A树苗B合计成活株数未成活株数合计5050100(2)已知树苗A引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售,但每株售价y(单位:百元)受其树干的直径x(单位:cm)影响,扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计,得到结果如下表:直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据,判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系,并用样
6、本相关系数r加以说明.(一般认为|r|0.75为高度线性相关)深度解析参考公式及数据:样本相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,i=15(xi-x)2=250,i=15(yi-y)2=320.2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.附表:0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828思想方法练一、数形结合思想在统计中的应用1.(2020福建泉州高三适应性线上测试,)下图是某地区2010年至2019年污染天数y与年份x的折线图,根据2010年至20
7、14年的数据,2015年至2019年的数据,2010年至2019年的数据分别建立一元线性回归模型y=b1x+a1,y=b2x+a2,y=b3x+a3,则()A.b1b2b3,a1a2a3B.b1b3b2,a1a3a2C.b2b3b1,a1a3a2D.b2b3b1,a3a20.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);(2)求y关于x的经验回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量.附:样本相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2i=1nyi2-ny2,经验回归方程y
8、=bx+a中,b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.二、转化与化归思想在统计中的应用5.(2020四川攀枝花高二上教学质量监测,)某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:吨)和年利润(单位:万元)的影响.对2014年至2019年的宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5,6)的数据进行了初步统计,并绘制成如下表格:年份201420152016201720182019年宣传费x(万元)384858687888年销售量y(吨)16.818.820.72
9、2.424.025.5经电脑模拟,发现年宣传费x(万元)与年销售量y(吨)之间近似满足关系式y=axb(a,b0),即ln y=bln x+ln a.对上述数据进行了初步处理,得到的相关值如下表:i=16(ln xiln yi)i=16ln xii=16ln yii=16(ln xi)275.324.618.3101.4(1)从表中所给出的6年的年销售量数据中任选2个数据进行年销售量的调研,求所选数据中至多有一年的年销售量低于20吨的概率;(2)根据所给数据,求y关于x的经验回归方程;(3)若生产该产品的固定成本为200万元,且每生产1吨产品的生产成本为20万元(总成本=固定成本+生产成本+年
10、宣传费),销售收入为R(x)=-x+(40+20e)x+500万元,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),则2020年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大?(其中e=2.718 28)附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其经验回归直线v=u+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1nuivi-nuvi=1nui2-nu2,=v-u-.答案全解全析本章复习提升易混易错练1.解析(1)由题中散点图可以判断,y=c+kx-1更适宜作为y关于x的经验回归方程类型.(2)令t=x-1,则y=c+kt,构造新的成对数据,如下表:t4210.50.25y1612521易
11、知y与t存在线性相关关系.计算得t=1.55,y=7.2,k4,c=y-kt=1,所以y关于t的经验回归方程为y=4t+1,所以y关于x的经验回归方程为y=4x+1.(3)由(2)得z=y+x=4x+x+1,易得z=4x+x+1在x4,+)上是单调递增函数,即最小值为6.2.解析(1)估计这100人年龄的平均数为200.2+300.1+400.2+500.3+600.2=42(岁).(2)由题中频率分布直方图可知,45岁以下的有50人,45岁及以上的有50人.可得22列联表如下:单位:人45岁以下45岁及以上合计不支持354075支持151025合计5050100零假设为H0:不同人群与态度相
12、互独立,即以45岁为分界点的不同人群对延迟退休年龄政策的态度不存在差异.计算可得2=100(3510-4015)2752550501.3333.841=x0.05.依据=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为确诊患新冠肺炎与年龄有关.4.解析试验发现有80%的树苗成活,故未成活的树苗有20株,未成活的树苗A,B株数之比为13,所以树苗A未成活5株,成活45株,树苗B未成活15株,成活35株.(1)补充列联表如下:树苗A树苗B合计成活株数453580未成活株数51520合计5050100零假设为H0:树苗A,B的成活率无差异.计算可得2=100(4515-355)280205050=6.2
13、50.75.故可以用线性回归模型拟合y与x的关系.思想方法练1.C经验回归直线应分布在散点图的附近,由题中统计图可知2010年至2014年,y随着x的增加而减少,2015年至2019年,y随着x的增加而减少的更多,根据经验回归方程y=bx+a中a,b的几何意义可知,a2a1,b2b10,由点的分布可知,a3(a1,a2),b3(b2,b1),所以b2b3b1,a1a30.75.可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)设经验回归方程为y=bx+a,b=i=15(xi-x)(yi-y)i=15(xi-x)2=1420=0.7,a=y-bx=5-0.75=1.5,y=0.7x+1.5.当x=12时
14、,y=0.712+1.5=9.9.预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量为9.9百千克.5.解析(1)记事件A表示“至多有一年的年销售量低于20吨”,由题表中数据可知6年的数据中2014年和2015年的年销售量低于20吨,记这两年分别为c,d,其余四年分别为e,f,g,h,则从6年中任选2年,共有(c,d),(c,e),(c,f),(c,g),(c,h),(d,e),(d,f),(d,g),(d,h),(e,f),(e,g),(e,h),(f,g),(f,h),(g,h)15种取法,事件A包括(c,e),(c,f),(c,g),(c,h),(d,e),(d,f),(d,g),
15、(d,h),(e,f),(e,g),(e,h),(f,g),(f,h),(g,h),共14种取法,故P(A)=1415.(2)根据题意,令u=ln x,v=ln y,得v=ln a+bu,由题中数据得,u=24.66=4.1,v=18.36=3.05,又i=16uivi=i=16(ln xiln yi)=75.3,i=16ui2=i=16(ln xi)2=101.4,所以b=i=16uivi-nuvi=16ui2-nu2=75.3-64.13.05101.4-64.12=0.5,由ln a=v-bu=3.05-0.54.1=1,得a=e,故所求经验回归方程为y=ex.(3)设该公司的年利润为f(x)万元,因为利润=销售收入-总成本,所以由题意可知f(x)=-x+(40+20e)x+500-(200+20ex+x)=-2x+40x+300=-2(x-10)2+500,所以当x=10,即x=100时,年利润f(x)取得最大值,为500万元,故2020年该公司应该投入100万元的宣传费才能使利润最大.
