1、理科数学答案 第1页（共7页）三明一中 20182019 学年高三寒假返校考 理科数学参考答案 一选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C A B A C A D D B 二填空题：132 1438 1521223n+16 32 三、解答题：17解：（1）232sin4cos24(1 2sin)BBB+=，1 分1sin4B=或1sin2B=3 分在 ABC中，sin0B，1sin4B=4 分（2）设内角,A B C 的对边分别为,a b c，(415)sin(sinsin)BbAC+=+，(415)()bb ac+=+，415ac+=+6 分又
2、 ABC的面积为152，11115sin2242acBac=，4 15ac=8 分 B 为锐角，15cos4B=，由余弦定理得2222cosbacacB=+215()2214acacac=+=，1b=，10 分 ABC的周长为515+12 分18解：（1）证明：取 AC 的中点 F，连接 DF，EF，E 是 BC 的中点，/EFAB，111ABCA BC是三棱柱，11/ABA B，理科数学答案 第2页（共7页）11/EFA B，又 EF 平面11A BC，11A B 平面11A BC，/EF平面11A BC，2 分D 是1AA 的中点，1/DFA C，又 DF 平面11A BC，1CA 平面1
3、1A BC，/DF平面11A BC，3 分EFDFF=，EF 平面 DEF，DF 平面 DEF，平面/DEF平面11A BC，4 分又 DE 平面 DEF，/DE平面11A BC；5 分（2）由（1）知/DE平面11A BC，又DE，平面11A B Cl=，/DEl，6 分所以直线l 与平面11ABB A 所成角的正弦值等于直线DE与平面11ABB A 所成角的正弦值.过点1A 作1AOAC，垂足为O，连接OB，侧面1ACC A 底面 ABC，1AO 平面 ABC，1AOOB，1AOOC，160A AC=，12AA=，1OA=，13OA=，2AB=，60OAB=，由余弦定理得，2222cos3
4、OBOAABOA ABBAC=+=，3OB=，90AOB=，OBAC，分别以OB，OC，1OA 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz，8 分由题设可得(0,1,0)A，(0,3,0)C，(3,0,0)B，1(0,0,3)A，13(0,)22D，3 3(,0)22E，(3,1,0)AB=，1(0,1,3)AA=，9 分理科数学答案 第3页（共7页）设111(,)mx y z=是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m ABn AA=111130,30,xyyz+=+=令11z=，(1,3,1)m=，20 分33(,2,)22DE=，cos,m DE=2 33055
5、|m DEm DE=，11 分直线 l 与平面11ABB A 所成角的正弦值为 2 3305512 分19解：（1）因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)xyabab+=由椭圆定义知22223213212(1)()(1)()2424a=+4=，所以2a=2 分又因为1c=，所以2224 13bac=3 分因此 E 的标准方程为22143xy+=4 分（2）假设存在点0(,0)M x,使得 MA MB为定值，当直线l 的斜率不为0 时，可设直线l 的方程为1xmy=+，1122(,),(,)A x yB xy联立221431xyxmy+=+,得22(34)690mymy
6、+=，6 分则12122269,3434myyyymm+=+，7 分101202(,),(,)MAxxyMBxxy=22102012120120()()(1)(1)()(1)MA MBxxxxyymyyx m yyx=+=+22002296(1)()(1)()(1)3434mmx mxmm=+22002(615)9(1)34xmxm=+，9 分理科数学答案 第4页（共7页）要使上式为定值,即与m 无关，应有0615934x=解得0118x=，此时13564MA MB=，11 分当直线l 的斜率为0 时，不妨设(2,0),(2,0)AB，当 M 的坐标为 11,08时13564MA MB=，综上
7、，存在点11,08M 使得13564MA MB=为定值12 分20解：（1）当 2040t 时，0.1215yt=+；当 4060t 时，0.12 400.20(40)150.211.8ytt=+=+得0.1215,2040,0.211.8,4060.ttytt+=+3 分（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，“路段畅通”的概率2 182505P+=，可取0，1，2，303032327(0)55125PC=，2132354(1)55125PC=2232336(2)55125PC=，3033238(3)55125PC=的分布列为0123P27125541253612581257 分275436
8、801231.2125125125125E=+=（或依题意2(3,)5B，231.25E=）8 分（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间21820102535455542.650505050t=+=（分钟），每次上下班租车的费用约为0.2 42.6 11.820.32+=（元）理科数学答案 第5页（共7页）一个月上下班租车费用约为 20.32222894.081000=，估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用12 分21解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为),0(+()2(ln1)1axfxx=+，(1)11fa=，解得2a=2 分2ln()xf x
9、xx=+，()22(ln1)1xfxx=+当(),xe+时，ln1x ，则()0fx恒成立，故函数()f x 在区间(),e+上单调递增 4 分（2）函数)(xF的定义域为),0(+若函数2()()4aF xf xx=+在),0(+内有两个零点，即方程2ln204a xaxaxx+=恰有两个不相等的正实根，也就是方程22ln(2)04aaxxax+=恰有两个不相等的正实根5 分令22()ln(2)4ag xaxxax=+，()()()()22221()22xaxaxaxag xxaxxx+=6 分当0a时，)(xg0 恒成立，函数)(xg在()0,+上是增函数，函数)(xg最多一个零点，不合题
10、意，舍去 7 分当0a 时，由()0g x得2ax；由()0g x得20ax 所以函数)(xg在 0,2a内单调递减，在+,2a内单调递增 所以)(xg的最小值是02ag ，8 分即22ln+(2)02424aaaaaa+，ln02aaa+0a，ln12a，解得2ae 10 分因为,04342)-(1)1(22+=+=aaaag所以在)2,1(a 内有一个零点 因为1ln xx，所以4)2(ln)(22axaxxaxg+=理科数学答案 第6页（共7页）4)1(24)2()1(2222aaxaxaxaxxa+=+于是,0454)1(44)2(222+=+=aaaaaaaag所以在)2,2(aa内
11、有一个零点 故实数a 的取值范围是()2,e+12 分22解：（1）依题意，曲线 C 的直角坐标方程为：223120 xy+=，即22y+1124x=，故曲线 C 的参数方程为2 3 cos,2sin,xy=（为参数）；直线210,2:2,2tlyt+=（t 为参数），故100 xy=，故cossin100=，即cos+=5 24为直线l 的极坐标方程.5 分（2)设()()2 3 cos,2sin2,N点 M 的极坐标 4 2,4化为直角坐标()4,4，则()3 cos+2,sin+2P.点 P 到直线l 的距离2sin103 cossin1036 222d+=，当sin13=时，等号成立.点 P 到直线l 的距离的最大值为6 2.10 分23.解：（1）()()()()12221xf xg xxxx+或()()122221xxxx+或()()22221xxxx+，（3 分）理科数学答案 第7页（共7页）112xx 或1252xx或2x，112x 或12x或122xx，所以不等式()()f xg x的解集为1|2x x.6 分（2）因为当(2,1xaa+时，()()f xg x恒成立，所以()()f xg x的解集包含(2,1aa+，7 分由（1）得()()f xg x的解集为1|2x x，8 分所以(12,1,2aa+，所以211112aaaa +.10 分
