1、解三角形中的最值问题（2019全国3卷）的内角的对边分别为，已知（1）求；第一类最值：面积最值.（2）求面积的最大值；（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范解析：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是变式练习：的内角对边为，（1）.求角的值；（2）最值问题展示：i) 若,求周长的最大值.ii) 若,求面积的最大值.iii) 若为锐角三角形，求的取值范围.iv）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围iv) 若
2、为边的中点，求面积的最大值.vi）若为的平分线，求面积的最小值.vii）若为边的高，且，求面积的最小值.小结1.结合余弦定理：变式可得：此公式在已知的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.2.结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数，利用三角函数处理最值或者范围.3.在处理与中线，角平分线，高线有关的最值时，要注意利用相关性质和等面积的方法实现代数等量关系的构建.解析：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积
3、公式有：.又因,故，故.故的取值范围是练习.1（2020年全国2卷）在中，（1）求；（2）若，求周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，.（2）方法1:由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.2.在中，角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，则，化简得，.又，因此，.（2）由，又为的中点，则，等式两边平方得，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.3设的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.解析：（1）由题设知，即，所以，即，又所以.（2）由题设知，即，又为锐角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范围是.4内角，的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）是边上一点，且，求面积的最大值.解析：（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，因为，所以，则，又，所以，因为，所以；（2）根据题意可得，所以，即，所以，当且仅当 等号成立所以，面积的最大值为.
