1、解三角形中的最值问题(2019全国3卷)的内角的对边分别为,已知(1)求;第一类最值:面积最值.(2)求面积的最大值;(3)若为锐角三角形,且,求面积的取值范解析:(1)根据题意,由正弦定理得,因为,故,消去得,因为故或者,而根据题意,故不成立,所以,又因为,代入得,所以.(2)因为是锐角三角形,由(1)知,得到,故,解得.又应用正弦定理,由三角形面积公式有:.又因,故,故.故的取值范围是变式练习:的内角对边为,(1).求角的值;(2)最值问题展示:i) 若,求周长的最大值.ii) 若,求面积的最大值.iii) 若为锐角三角形,求的取值范围.iv)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围iv) 若
2、为边的中点,求面积的最大值.vi)若为的平分线,求面积的最小值.vii)若为边的高,且,求面积的最小值.小结1.结合余弦定理:变式可得:此公式在已知的情况下,可得到和的等式,配合均值不等式,这样就可实现周长或者面积的最值.2.结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数,利用三角函数处理最值或者范围.3.在处理与中线,角平分线,高线有关的最值时,要注意利用相关性质和等面积的方法实现代数等量关系的构建.解析:(1)根据题意,由正弦定理得,因为,故,消去得,因为故或者,而根据题意,故不成立,所以,又因为,代入得,所以.(2)因为是锐角三角形,由(1)知,得到,故,解得.又应用正弦定理,由三角形面积
3、公式有:.又因,故,故.故的取值范围是练习.1(2020年全国2卷)在中,(1)求;(2)若,求周长的最大值.解析:(1)由正弦定理可得:,.(2)方法1:由余弦定理得:,即.(当且仅当时取等号),解得:(当且仅当时取等号),周长,周长的最大值为.2.在中,角、所对的边分别为、,且满足.(1)求角的大小;(2)若为的中点,且,求的最大值.解:(1)由正弦定理及得,由知,则,化简得,.又,因此,.(2)由,又为的中点,则,等式两边平方得,所以,则,当且仅当时取等号,因此,的面积最大值为.3设的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.解析:(1)由题设知,即,所以,即,又所以.(2)由题设知,即,又为锐角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范围是.4内角,的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)是边上一点,且,求面积的最大值.解析:(1)因为,由正弦定理可得,又,所以,因为,所以,则,又,所以,因为,所以;(2)根据题意可得,所以,即,所以,当且仅当 等号成立所以,面积的最大值为.