1、2020年春季期北流市实验中学开学检测卷高二数学（理）命题人：罗桂荣（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】首先求出原命题的逆命题，再求出逆否命题即可.【详解】原命题的逆命题为：若，则，原命题的逆否命题为：若，则故选：C【点睛】本题主要考查原命题的逆否命题，熟练掌握四种命题的关系为解题的关键，属于简单题.2.执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的( )A. B. C. D.
2、 【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据题意由成立，则循环，即;又由成立，则循环，即;又由成立，则循环，即;又由不成立，则出循环，输出考点：算法的循环结构3.抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】即,故抛物线焦点在轴上,焦点纵坐标为.故焦点坐标为故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.4.设命题命题：若，则方程表示焦点在x轴上的椭圆那么下列命题属于真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据，得到是真命题，化简方程得到，可判定q为真命
3、题，即可得到为真命题。【详解】当时，所以是真命题；当时，表示焦点在x轴上的椭圆，所以q为真命题。所以为真命题故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判断，同时考查了椭圆的标准方程和特称命题，属于简单题。5.函数的图象在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由函数知，所以，在点处的切线方程是，化简得考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义6.已知点，则它的极坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由计算即可【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.故选C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题7.若双曲线
4、的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先把代入得到，再计算离心率即可.【详解】把代入，得，即故选：D【点睛】本题主要考查双曲线中离心率求法，根据题意得到的关系为解题的关键，属于中档题.8.椭圆：的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】椭圆焦点点在上，中最大角为故选A点睛：本题考查椭圆的简单的性质的应用，根据三边求最大角，先求出最大边，根据“大边对大角”可以判断最大角，再利用余弦定理求出余弦值即可得角.9.函数在上的最小值为（ ）A. B. 0C. D. 2【答案】B【解析】【分析】首先对求导
5、并求其单调区间，根据单调区间即可得到的最小值.【详解】，.令得，（舍去）或，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，所以故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于简单题.10.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即5.5,
6、5出现的次数最多，故5，5.97于是得.考点：统计初步.11.若a是从区间中任取的一个实数，则方程无实数解的概率是（ ）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】B【解析】【分析】首先根据方程无实数解和的范围得到，再利用几何概型公式即可得到答案.【详解】若方程无实数解，则，即，又，.所以方程无实数解的概率是故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，同时考查了一元二次方程根的情况，属于简单题.12.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )A. B. C. D. 1【答案】C【解析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则，可得：，
7、当且仅当时取等号，故选C考点：1抛物线的简单几何性质；2均值不等式【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_.(注：方差 ，其中为的平均数)【答案】68，【解析】【分析】先求出该运动员这五场比赛得分的平均数，再求出方差即可【详解】由题
8、意得该运动员这五场比赛的得分分别为，得分的平均数为，方差 【点睛】本题以茎叶图为载体，考查样本平均数、方差的计算，考查阅读能力和计算能力，属于基础题14.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 【答案】【解析】【详解】，圆心，直线直角坐标方程为；点到直线的距离是，故答案为：.15.命题p： xR，2x+10，则p是_.【答案】【解析】【分析】利用全称命题的否定解答即可.【详解】命题p： xR，2x+10，则p是:.故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16.已知函数在上有极值，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】对函数求导，令导函数等于
9、，求出，根据函数在在上有极值，可知，即可求解详解】，令，得，函数在上有极值，故答案为【点睛】本题考查了函数的极值，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，一矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，求盒子的最大容积【答案】18【解析】【分析】首先设小正方形的边长为x厘米，根据题意得到体积，再利用导数求函数的最大值即可.【详解】设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为，宽为，令，得，或（舍去）.，为增函数，减函数.【点睛】本题主要考查导数在实际中的应用，同时考查了利用导数解决函数的最值问题，属于简单题
10、.18.对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份i123456单价（元）99.51010.5118销售量（件）111086514（1）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？【答案】（1）（2）理想；（3）7.5元【解析】【分析】（1）首先计算，再根据回归直线公
11、式计算即可.（2）利用回归直线方程计算时的估计值，再计算误差即可得到结论.（3）首先求出利润的解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案.【详解】（1）由题意知，.，.（2）由（1）知，当时，可认为所得到的回归直线方程是理想的（3）依题意得，利润当元时，L取得最大值该产品的单价定为7.5元时，利润最大【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程的求法和估计值，同时考查了二次函数的最值问题，属于中档题.19.已知命题表示双曲线，命题表示椭圆（1）若命题p与命题q都为真命题，则p是q的什么条件？（2）若为假命题，且为真命题，求实数m的取值范围【答案】（1）必要而不充分条件；（2）或【解析】【分析】（1）首
12、先根据双曲线和椭圆的标准方程计算命题，是真命题时的范围，再根据的范围即可得到答案.（2）首先根据题意得到，一真一假，再分类讨论真假和假真的情况即可得到答案.【详解】（1）因为命题表示双曲线是真命题，所以解得又命题表示椭圆是真命题，所以解得或因为，所以p是q的必要而不充分条件（2）为假命题，且为真命题，一真一假当真假时，由（1）可知，为真，有，为假，有或或由解得或当假真时，由（1）可知，为假，有或，为真，有或由解得，无解综上，可得实数m的取值范围为或【点睛】本题第一问考查必要不充分条件的判定，同时考查了椭圆和双曲线的标准方程，第二问考查了逻辑连接词，属于中档题.20.某高校在2016年的自主招生
13、考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示（1）请先求出频率分布表中位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图（如图所示）；组号分组频数频率第1组50.050第2组0.350第3组30第4组200.200第5组100.100合计1001.000频率分布直方图（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率【答案】（1）人；
14、（2）3人、2人、1人；（3）【解析】【分析】（1）利用总数和第组的频率可算出第组的频数，利用第组的频数和总数可算出第组的频率，再根据频率分布表的数据画出频率直方图即可.（2）首先求出抽样比，再利用分层抽样即可得到第3、4、5组分别抽取的人数.（3）首先求出从名同学抽取名学生的全部基本事件，再求出至少有一位学生是第组的基本事件个数，利用古典概型公式计算即可得到答案.【详解】（1）由题可知，第2组的频数为（人），第3组的频率为，频率分布直方图如图所示（2）因为第3、4、5组共有60名学生，抽样比.第3组抽取：（人），第4组：（人），第5组：（人），所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人（3）
15、设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，如下：，第4组至少有一位同学入选的有：，共9种可能所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图和分层抽样，同时考查了古典概型，属于简单题.21.已知抛物线的焦点为，直线.（1）若抛物线和直线没有公共点，求的取值范围；（2）若，且抛物线和直线只有一个公共点时，求的值.【答案】(1)或；(2).【解析】【详解】试题分析：（1）联立方程 ，整理得，由抛物线和直线没有公共点，则，即可求得的取值范围；（2）当抛物线和直线只有一个公共点时，记公共点坐标为，由，即，解得或
16、，因为，故，将代入得求得的值即得点的坐标，可求的值.试题解析：（1）联立方程 ，整理得，由抛物线和直线没有公共点，则，即，解得或.（2）当抛物线和直线只有一个公共点时，记公共点坐标为，由，即，解得或，因为，故，将代入得，解得，由抛物线的定义知：.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；
17、（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【详解】试题分析：（1）先求导数，再根据二次函数图像讨论根的情况进而确定导函数符号变化规律，确定单调性；（2）化简不等式，并分离变量得，利用导数研究函数单调性，进而确定函数最值，即得实数的取值范围.试题解析：（1）定义域为，当即时，当，时， 当时，或时，时，当时，的单调减区间为，当时，的单调减区间为，的单调增区间为. （2），设令，则，时，时，在上是增函数，在上是减函数，且时，时，即.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
