1、推理与证明一、选择题1(2013潍坊模拟)如下图332所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则()图332A.B.C. D.【解析】由图案的点数可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3，n2，所以，所以1，选B.【答案】B2观察下列分解式：2335,337911,4313151719，若m3的分解式中最小的数为31，则自然数m()A5B6C7D8【解析】由2n131得n15，又234514，m6.【答案】B3如图333所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为
2、(n2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第7行第4个数(从左往右数)为()图333A. B. C. D.【解析】由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为，同理，第7行第3个数，第7行第4个数为.【答案】A4(2013开封模拟)观察下列各式：553 125,5615 625，5778 125，则52 014的末四位数字为()A3 125 B5 625C0 625 D8 125【解析】由题意可得：58390 625,591 953 125，经观察易知，每个数的末四位数呈周期变化，T4，又因为2 0144
3、5032，所以52 014的末四位数字为5 625.【答案】B5(2013西安模拟)已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于()A1 B2 C3 D4【解析】设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知dOM，设各个面的面积为S，则由等体积法得：4SOMSAM，4OMAMAOOM，从而3.【答案】C二、填空题6(2013陕西高考)观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律
4、，第n个等式可为_【解析】121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n1.【答案】12223242(1)n1n2(1)n17公差为d(d0)的等差数列an中，Sn是an的前n项和，则数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q1)的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有_【解析】b11b12b20，b21b22b30，b31b32b40，(q10)10q100，成等比数列，公比为q100.【答案】，成等比数列，公比为q1008(2
5、013东城模拟)定义映射f：AB，其中A(m，n)|m，nR，BR，已知对所有的有序正整数对(m，n)满足下述条件：f(m,1)1，若nm，f(m，n)0；f(m1，n)nf(m，n)f(m，n1)，则f(2,2)_；f(n,2)_.【解析】根据定义得f(2,2)f(11,2)2f(1,2)f(1,1)2f(1,1)212.f(3,2)f(21,2)2f(2,2)f(2,1)2(21)6232，f(4,2)f(31,2)2f(3,2)f(3,1)2(61)14242，f(5,2)f(41,2)2f(4,2)f(4,1)2(141)30252，所以根据归纳推理可知f(n,2)2n2.【答案】22
6、n2三、解答题9已知a0且a1，f(x).(1)求值：f(0)f(1)，f(1)f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；(3)若nN*，求和：f(n1)f(n2)f(1)f(0)f(1)f(n)【解】(1)f(0)f(1)，f(1)f(2).(2)由(1)归纳得到对一切实数x，有f(x)f(1x).证明如下f(x)f(1x).(3)设Sf(n1)f(n2)f(1)f(0)f(1)f(n)，又Sf(n)f(n1)f(2)f(1)f(0)f(n1)，两式相加，得(由(2)的结论)2S2n，S.10等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解】(1)由已知得d2，故an2n1，Snn(n)，nN*.(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，是bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr.与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列11设同时满足条件：bnbn22bn1；bn2 ，所以满足，(或作差：因为0，所以也成立)，故存在M，所以满足，故为“好数列”
