1、专题强化练3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.(2020湖北武汉三校高一下期中联考,)已知在ABC中,a=5,A=3,b+c=2bc,则ABC的面积为() A.58B.34C.3D.5382.()在ABC中,三边上的高依次为113,15,111,则ABC为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形3.()在ABC中,BAC=6,AB=33,AC=3,点D在边BC上,且CD=2BD,则AD=()A.19B.21C.5D.274.()在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且sin A+cos A=3-12,a=7,3sin B=5sin C,则b+c=(
2、)A.12B.83C.82D.85.(2021安徽示范高中培优联盟高二上秋季联赛,)在ABC中,内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且a=3,3sin C=(sin B+3cos B)sin A,则c的最大值为()A.2B.1C.32D.3二、填空题6.()已知ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为.7.(2019广东湛江一中高二期末,)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边.若a=2bcos C,则此三角形一定是.8.()已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2c,sin A+2sin C=2sin B,
3、则cos A=.三、解答题9.(2021天津南开高三上期中,)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin Asin Bsin C=783.(1)求角A;(2)求cos(2B-A)的值.10.(2019广东湛江一中高二期末,)已知f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2.(1)若f()=1,求cos2+3的值;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-a)cos C=ccos A,求f(B)的取值范围.11.(2019河南商丘九校高二期末联考,)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.(1)求
4、角A的大小;(2)若点D满足AD=2AC,且BD=3,求c+2b的取值范围.答案全解全析专题强化练3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.D由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=2(bc)2-3bc=5,解得bc=52(bc=-1舍去),所以SABC=12bcsin A=125232=538.2.C设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,113,15,111分别为a,b,c上的高.因为SABC=12a113=12b15=12c111,所以可设a=13k,b=5k,c=11k(k0).由余弦定理的推论,得cos A=(5k)2+(11k)2-(13k)22
5、5k11k=-231100).因为BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=27+9-233332=9,所以BC=3,所以BD=1,CD=2.解法一:因为cosADB=cos(-ADC),即cosADB=-cosADC,所以x2+1-272x=-x2+4-94x,所以x=19(负值舍去),即AD=19.解法二:因为AC=BC=3,BAC=6,所以BCA=23,所以x2=AC2+CD2-2ACCDcosBCA=32+22-232cos23=19,故x=19(负值舍去),即AD=19.4.D由sin A+cos A=3-12两边平方,并化简得1+sin 2A=2-32,解得sin 2A=-3
6、2.因为0A,所以02A0,知A=23.由3sin B=5sin C,得3b=5c.又由余弦定理,得49=b2+c2-2bccos23,即b2+c2+bc=49.由,得b=5,c=3,所以b+c=8,故选D.5.A因为3sin C=(sin B+3cos B)sin A,所以3c=(sin B+3cos B)a=(sin B+3cos B)3,所以c=sin B+3cos B=2sinB+3,因为B为ABC的内角,所以0B,则3B+30),由余弦定理的推论得cos A=64k2+9k2-49k228k3k=12,因为0A,所以A=3.(2)由余弦定理的推论得cos B=49k2+9k2-64k
7、227k3k=-17,又B为三角形ABC的内角,所以sin B=1-cos2B=437,所以sin 2B=2sin Bcos B=-8349,cos 2B=2cos2B-1=-4749,所以cos(2B-A)=cos 2Bcos3+sin 2B3=-474912-834932=-7198.10.解析(1)f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2=32sin x+12cos x+12=sinx+6+12.由f()=1,得sin+6+12=1,sin+6=12.cos2+3=cos2+6=1-2sin2+6=12.(2)由(2b-a)cos C=ccos A及正弦定理,得(2sin B-si
8、n A)cos C=sin Ccos A,2sin Bcos C-sin Acos C=sin Ccos A,整理,得2sin Bcos C=sin(A+C)=sin B.sin B0,且ABC是锐角三角形,cos C=12,C=3,A+B=23,B=23-A.6A2,6B2,3B+623,32sinB+61.f(B)=sinB+6+12,f(B)的取值范围是3+12,32.11.解析(1)由(2b-c)cos A=acos C及正弦定理,得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A,即2sin Bcos A=sin(A+C),2sin Bcos A=sin B,0B,sin B0,cos A=12,0A3,3c+2b6,即2b+c的取值范围为(3,6.
