1、北海市2020年春季学期高二年级期末教学质量检测数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点落在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】原等式两边同乘以，从而可得，进而可得结果.【详解】因为，所以，复数在复平面内对应的点为第四象限的点，故选D【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化
2、为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 曲线在点处切线的斜率为（ ）A. 2B. 1C. -1D. -2【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义，转化为求可得解.【详解】因为，所以，所以，所以所求切线的斜率为-1.故选：C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.3. 在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A. 0.28B. 0.12C. 0.42D. 0.16【答案】B【解析】【分析】两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.【详解】甲未通过的概
3、率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为选B.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.4. 若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A. 12种B. 14种C. 5种D. 4种【答案】A【解析】【分析】这是一个不相邻的问题，采用插空法，先排其余的2人，出现3个空，将甲、乙、丙三人插空，即可得到答案【详解】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有种排法.故答案选A【点睛】本题主要考查排列中不相邻的问题，相邻用捆绑法，不相邻用插空法，属于基础题5. 若
4、一个不透明的袋子中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得从10个球中任取2个的所有可能性，以及满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】从个球中任取2个的所有可能有个；若2个球中恰有1个白球1个红球，则所有可能有个；故满足题意的概率.故选：B【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.6. 已知的二项展开式中常数项为1120，则实数的值是（ ）A. B. 1C. 或1D. 不确定【答案】C【解析】【分析】列出二项展开式的通项公
5、式，可知当时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果.【详解】展开式的通项为：令，解得：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.7. 已知函数，则（ ）A. 16B. 8C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将被积函数变形，然后根据定积分基本性质和微积分基本定理，计算即可.【详解】 ，故选A【点睛】计算定积分的步骤：先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；根据定积分的基本性质，变形；分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原始函数；利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)8. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的
6、概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率【详解】在下雨条件下吹东风的概率为 ，选C【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题9. 在一次数学竞赛中，甲、乙、丙、丁四个学生中有一人获得一等奖.甲说：“是丙或丁获得一等奖.”乙说：“是丁获得一等奖的.”丙说：“我没有获得一等奖.”丁说：“我没有获得一等奖.”他们中只有一人说了谎，则获得一等奖的是（ ）A 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】根据假设，推出矛盾结果，逐个推理判断即可得解.【
7、详解】假设甲获得一等奖，甲、乙说了谎，矛盾；假设乙获得一等奖，甲、乙说了谎，矛盾；假设丙获得一等奖，丙、乙说了谎，矛盾；假设丁获得一等奖，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁获得一等奖.故选：D.【点睛】本题考查了合情推理，考查了逻辑思维能力，属于基础题.10. 若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（ ）A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种【答案】B【解析】【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到各个房间即可得解.【详解】先分组，已知牡丹、郁金
8、香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，共有种排法，所以不同的放法数（种）.故选：B.【点睛】本题考查了排列组合求所有可能，考查了平均分组法，解题关键是平均分组时注意消序，计算量不大，属于基础题.11. 一个袋子中有4个黑球和1个白球，从中取一球，取后放回，重复n次，记取出的球为白球的次数为X，若，则（ ）A. 60B. C. D. 12【答案】A【解析】【分析】由取后放回可得，根据期望求出次数n，进而根据二项分布的性质即可得解.【详解】由题意可知，.【点睛】本题考查了二项分布的概念及其性质，考查了n次独立重复试验，解题关键是注意是 “取后放回”的理解，整体计算量
9、不大，属于基础题.12. 已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据时可得：；令可得函数在上单调递增；利用奇偶性的定义可证得为偶函数，则在上单调递减；将已知不等式变为，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当时， 令，则在上单调递增为奇函数 为偶函数则在上单调递减等价于可得：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较
10、.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数，则的共轭复数为_.【答案】【解析】【分析】由复数的平方求得后可得其共轭复数【详解】，的共轭复数为.故答案：【点睛】本题考查复数的乘方运算，共轭复数的定义，属于简单题14. 设，若的概率为0.4，则的概率为_.【答案】0.9【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性求概率【详解】，故答案为：0.9【点睛】本题考查正态分布，利用正态分布曲线的对称性求概率是常用题型15. 已知，则_【答案】1【解析】【分析】令展开式中的x=0,可得，令x=1,可得的值，从而可得答案.【详解】已知,令x=0,可得，令x=1,可得，则，故答案为1【点睛】本
11、题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是-1进行求解16. 若函数 恰有 个零点，则的取值范围为_【答案】【解析】【详解】【分析】设，则.所以的极大值为，极小值为.又，故作出函数的图象，如图所示.所以.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值
12、处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在6个篮球中有3个正品，3个次品.（1）从中任意抽取2个，求这2个球均为正品的概率；（2）从中任意抽取2个，求这2个球中至少有1个为次品的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）记“这2个球均为正品”为事件A，根据古典概型的概率公式可得结果；（2）记“这2个球中至少有1个为次品”为事件B，则，根据对立事件的概率公式可得结果.【详解】（1）记“这2个球均为正品”为事件A，则. （2）记“这2个球中至少有1个为次品”为事件B，则，则.【点睛】本题考
13、查了古典概型的概率公式，考查了对立事件的概率公式，属于基础题.18. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.【答案】（1）， ；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得，从而，由此能求出直线的普通方程；由，得，由此能求出圆的直角坐标方程；（2）圆圆心坐标，设，由此利用两点间距离公式能求出点的坐标，使到圆心的距离最小.试题解析：（1）由消去参数，得直线的普通方程为，由得，即圆的直角坐标方程为.（2），时最小，此时.考点：参数方程化为普
14、通方程；简单曲线的极坐标方程.【方法点晴】本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用；参数方程和普通方程的互化，由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，利用将极坐标方程与直角坐标方程之间互化.19. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于90分为优秀，90分以下为非优秀统计成绩后得到如下22列联表，且从全部210人中随机抽取1人为非优秀的概率为.优秀非优秀总计甲班90乙班40总计20（1）请完成上面的22列联表，并判断能否有99
15、%的把握认为“成绩与班级有关”；（2）从全部210人中有放回地随机抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望.注：，.0.050.013.8416.635【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据已知完成22列联表，再利用独立性检验判断能否有99%的把握认为“成绩与班级有关”；（2）先求出，再求出分布列和期望.【详解】（1）优秀非优秀总计甲班2090110乙班4060100总计60150210.，有99%的把握认为“成绩与班级有关”.（2）由题得，计算知，的分布列为0123.【点睛】本题主要
16、考查独立性检验，考查离散型随机变量分布列和期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 若函数在处取得极值（1）求的值；（2）求函数的单调区间及极值【答案】（1）（2）单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为【解析】【详解】试题分析：（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值试题解析：（1），由，得（2），由，得或当时；当时或当变化时，的变化情况如下表：12-0+0- 因此，的单调递增区
17、间是，单调递减区间是函数的极小值为，极大值为考点：利用导数求过曲线上某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性21. 每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：温差810111213发芽数（颗）7981858690（1）请根据统计的最后三组数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100
18、颗小麦种子的发芽率为颗，则记为的发芽率，当发芽率为时，平均每亩地的收益为元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程中，.【答案】（1）（2）见解析（3）7950万元【解析】【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出的值，最后求出关于的线性回归方程；（2）根据线回归方程，分别计算当时，当时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）当时，根据线性回归方程计算出的值，然后计算出发芽率以及收益.【详解】数据处理；.（1）-101-104此
19、时：，.（2）当时：，符合，当时：，符合，前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠.（3）当时，.发芽率，.收益：（万亩）（万元）.种植小麦收益为7950万元.【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.22. 设函数.（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性；（2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：，当时，在上单调递增；当时，令得：.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，当时，此时，不合题意；当时，恒成立，满足题意.当时，在处取最小值，且，令，解得：，此时恒成立综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.
