1、-1-第2课时 等差数列的性质及应用ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.体会等差数列与一次函数的关系,能够运用一次函数的性质解决等差数列问题.2.掌握等差中项的定义,能够运用定义解决有关问题.3.掌握等差数列性质的应用及实际应用.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.等差中项的性质:(1)A是a与b的等差中项,则(2)当2A=a+b时,A是a与b的等差中项.(3)如果三
2、个数成等差数列,那么通常设这三个数为a-d,a,a+d,这样可以在解题过程中减少运算量.(4)如果数列an满足2an=an-1+an+1(n2,nN+),那么数列an是等差数列.A=+2 或 2=+,即等差中项有且仅有一个.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做 1-1】已知 a=1 3+2,=1 3-2,则,的等差中项为().A.3B.2C.33 D.22解析:a+b=1 3+2+1 3-2=3 2+3+2=2 3,a,b 的等差中项为 3.答案:A 【做一做1-2】已知m,n的等差中项为20,则m+n=.解析:
3、m+n=220=40.答案:40 ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 2.等差数列的性质 若数列an是公差为d的等差数列,则(1)当d=0时,数列an为常数列;当d0时,数列an为递增数列;当d0时,数列an为递减数列.(6)若数列an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ai+1+an-i=(n,iN+).(7)数列an+b(,b是常数)是公差为d的等差数列.(8)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)组成公差为md的等差
4、数列.(2)d=-1-1=-(m,n,kN+).(3)an=am+(n-m)d(m,nN+).(4)若 m+n=p+q(m,n,p,qN+),则 am+an=ap+aq.(5)若+2=k,则 am+an=2ak(m,n,kN+).ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航(9)若数列bn也为等差数列,则数列kan+mbn+b(k,m,b为常数)也是等差数列.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做2-1】在等差数列an中,已知a1+a4+a7=39,
5、a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为()A.30B.27C.24D.21 解析:a1+a4+a7=2a4+a4=3a4=39,a4=13.又a2+a5+a8=2a5+a5=3a5=33,a5=11.d=a5-a4=-2,a6=a5+d=9,a3+a6+a9=3a6=39=27.答案:B【做一做2-2】在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.解析:由等差数列的性质知 a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=237=74.答案:74 ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二
6、题型三 题型一等差中项的应用 【例 1】已知1,1,1成等差数列,求证:+,+,+也成等差数列.分析:解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明.若1,1,1成等差数列,则1+1=2,要证明结论成立,只要证明+=2(+)即可.证明:因为 1,1,1 成等差数列,所以 2=1+1,即2ac=b(a+c).因为+=(+)+(+)=2+2+(+)=2+2+2=2(+)2(+)=2(+),所以+,+,+成等差数列.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思证明三个数(式子)成等差数列,一般可根据定义或等差中项
7、将问题转化为证明等式成立.根据等差数列各项乘(或除以)同一个常数(非零常数)或加(或减)同一个常数所得数列仍是等差数列,再结合问题条件亦可证明.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练1】在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这个数列.解:-1,a,b,c,7成等差数列,b是-1与7的等差中项,a是-1与b的等差中项,c是b与7的等差中项,即 b=-1+72=3,=-1+2=1,=+72=5.故所求数列为-1,1,3,5,7.ZHISHISHULI知识梳理 SUIT
8、ANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二等差数列性质的应用【例2】(1)已知an是等差数列,且a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值;(2)在等差数列an中,若a49=80,a59=100,求a79.分析:本题(1)考查等差数列的性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的应用;(2)考查性质“am=an+(m-n)d”的应用.解:(1)an是等差数列,a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8.a1-a4+a8-a12+a15=2,a8=2,a3+a13=2a8=22=4.(2)an是等差数列,可设
9、公差为d.由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2.a79=a59+20d,a79=100+202=140.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思在等差数列an中,若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak(m,n,p,q,k都是正整数),它是一条重要性质,有时利用该性质可简化运算.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练2】已知等差数列an,(1)若a2+
10、a3+a25+a26=48,求a14;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.解:(1)a2+a26=a3+a25=2a14,a2+a3+a25+a26=4a14=48,解得a14=12.(2)a2+a5=a3+a4,a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34.即a2+a5=17.又已知a2a5=52,联立解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.当 a2=4,a5=13 时,d=5-25-2=3;当 a2=13,a5=4 时,d=5-25-2=3.故公差 d 为 3 或-3.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLIT
11、OUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三实际应用问题【例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度.分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的级数是12,因此,问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:设梯子的第n(1n12)级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1cm,则数列an是等差数列.由题意,得a1=33,a12=110
12、,n=12,则a12=a1+11d,所以110=33+11d,解得d=7.所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=47+7=54,a5=54+7=61,a6=61+7=68,a7=68+7=75,a8=75+7=82,a9=82+7=89,a10=89+7=96,a11=96+7=103.故梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.反思解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学模型是已知等差数列的首项、末项及项数,求各项.ZHISHISHULI知识梳理 SUITA
13、NGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练3】甲虫是行动较快的昆虫之一,下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:(1)你能建立一个模型,表示甲虫的爬行距离s和时间t(整秒)之间的关系吗?(2)利用建立的模型计算,甲虫1 min能爬多远?它爬行49 cm需要多长时间?时间/s 1 2 3?60 距离/cm 9.8 19.6 29.4 49?ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)由题表可知该数列从第2项起,每一项与前一项的差都是常数9.
14、8,所以是等差数列模型.因为a1=9.8,d=9.8,所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系式是s=9.8t.(2)当t=1 min=60 s时,s=9.8t=9.860=588(cm).当 s=49 cm 时,t=9.8=499.8=5(s).ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123451在等差数列an中,a1+a9=10,则a5的值为().A.5B.6C.8D.10 解析:依题意,得a1+a9=2a5=10,则a5=5,故选A.答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANL
15、ITOUXI典例透析 目标导航 123452在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.0B.-1 C.1D.6 解析:an为等差数列,a2+a6=2a4,a6=2a4-a2=4-4=0.答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123453已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别是,.解析:由等差中项的定义可知2a=8+2,22=a+b,2b=2+c.联立,解得a=5,b=-1,c=-4.答案:5-1-4 ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIAN
16、LITOUXI典例透析 目标导航 123454若等差数列an的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项为 .解析:由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项,即2a+1 解得a=0,故数列an的前三项依次为0,1,2,则a5=0+41=4.答案:4=+4+22,ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123455夏季高山上的温度从山脚起,每升高100 m,降低0.7,已知山顶处的温度是14.8,山脚处的温度为26,此山相对于山脚处的高度是多少米?解:因为每升高100 m温度降低0.7,所以每100 m处的温度成等差数列.设山脚处温度为首项a1=26,山顶处温度为末项an=14.8,则26+(n-1)(-0.7)=14.8,解得n=17.故此山相对于山脚处的高度为(17-1)100=1 600(m).答:此山相对于山脚处的高度为1 600 m.
