1、专题七选修4系列第一讲几何证明选讲(选修41)1(2014新课标全国卷)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E，证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.解：(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.2(2014新课标全国卷)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB
2、的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形解：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形3(2014辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且 PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：
3、AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90，故AB是直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB.于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角于是ED为直径，由(1)得EDAB. 4(2013辽宁高考)如图，AB为O的直径，直线CD与
4、O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.解：(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.同理可证RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.1平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)
5、推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定与性质(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(2)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方(3)推论：相似三角形外接圆
6、的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方4射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项5圆周角与圆心角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径6圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆的内接四边形的对角互补定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)判定：定理：如果一个四边形的对角
7、互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆7圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线8弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角9与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线
8、，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.热点一相似三角形的判定与性质的应用例1(2014东北三校联考)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且DAQPBC.求证：(1)；(2)ADQDBQ.师生共研(1)因为PBCPDB，所以，同理.又因为PAPB，所以，即.(2)连接AB.因为BACPBCDAQ，ABCADQ，所以ABCADQ，即，故，又因为DAQPBCBDQ，所以ADQDBQ.判定两个三角形相似的四
9、种常用方法(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)相似三角形的定义1.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上(1)若，1，求的值；(2)若EF2FAFB，证明：EFCD.解：(1)A，B，C，D四点共圆，EDCEBF，又AEB为公共角，ECDEAB，.2.(2)EF2FAFB，又EFABFE，FAEFEB，FEAEBF，又A，B，C，D四点共圆，EDCEBF，FEAEDC，EFCD.热点二圆的内接四边形问题例2(2014兰州模拟)如图，ABC是直角三角形，ABC90，
10、以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.(1)求证：O、B、D、E四点共圆；(2)求证：2DE2DMACDMAB.师生共研(1)连接BE、OE，则BEEC.又D是BC的中点，所以DEBD，又OEOB，ODOD，所以ODEODB.所以OEDOBD90，所以O、B、D、E四点共圆(2)延长DO交圆O于点H.因为DE2DMDHDM(DOOH)DMDODMOH，所以DE2DMDM，所以2DE2DMACDMAB.1在平面几何中求角的大小，经常考虑用三角形内角和定理及其推论2在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理2.如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，
11、垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF4BF4，求线段BC的长解：(1)如图，连接AM，由AB为直径可知AMB90，又CDAB，所以AEFAMB90，因此A、E、F、M四点共圆(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BFBMBEBA，在RtABC中，BC2BEBA，又由MF4BF4知BF1，BM5，所以BC25，BC.热点三相交弦、切割线定理及其应用例3(1)(2014南京模拟)如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC，OP，求PD的长(2)(2014太原模拟)如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交
12、圆O于点B、C，APC的平分线分别交AB、AC于点D、E.证明：ADEAED；若ACAP，求的值师生共研(1)P为AB的中点，OPAB，PB(r为圆O的半径)，又PCPDPAPBPB2，由PC，得PD.(2)PA是切线，AB是弦，BAPC.又APDCPE，BAPAPDCCPE.ADEBAPAPD，AEDCCPE，ADEAED.由知BAPC，APCBPA，APCBPA，.又ACAP，APCCBAP.由三角形内角和定理可知，APCCCAP180，BC是圆O的直径，BAC90，APCCBAP1809090，CAPCBAP9030，在RtABC中，.1处理与圆有关的比例线段的常见思路有：(1)利用相似
13、三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等2在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向3.已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AECE.(1)求证：AC2CECD；(2)已知CA5，AE3，求sinEAF.解：(1)连接AD，则ACDADC，CEAE，ACDEAC，AEC与CAD相似，AC2CDCE.(2)CA5，AE3，CE3，CD，CFCD，则EF，sinEAF.1(2014江苏高考)如图，
14、AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.2(2014洛阳模拟)在圆内接四边形ABCD中，AC与BD交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F，若ABAD，ADFC，AF18，BC15，求AE的长解：AF是圆的切线，且AF18，BC15，由切割线定理知AF2FBFC，即182FB(FB15)，解得FB12.ABAD，ABDADB.又AF是圆的切线，FABADB.则FABABD，AFBD，又ADFC，四边形ADBF为
15、平行四边形，ADFB12.又ACFADBF，ACAF18.ADFC，解得AE8.3(2014唐山模拟)如图，ABC内接于O，ABAC，点D在O上，ADAB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AFAE，求证：(1)BF是O的切线；(2)BE2AEDF.解：(1)连接BD.因为ADAB，所以BD是O的直径因为AEAF，所以FBAEBA.又因为ABAC，所以FBAC.又因为CD，DABD90，所以FBAABD90，即FBD90，所以BF是O的切线(2)由切割线定理，得BF2AFDF.因为AFAE，BEBF，所以BE2AEDF.4(2014东北三校联考)已知PQ与O相切于点A，直线PBC交圆于B
16、，C两点，D是圆上一点，且ABCD，DC的延长线交PQ于点Q.(1)求证：AC2CQAB；(2)若AQ2AP，AB，BP2，求QD.解：(1)ACBCQAAC2CQAB.QC3，PC6，AP为O切线AP2PBPC12AP2QA4.又AQ为O切线AQ2QCQDQD.5(2014沈阳模拟)如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D.(1)求证：C、P、B三点共线；(2)求证：CDCA.证明：(1)连接PC，PA，PB，BO2，AC是圆O1的直径，APC90.连接O1O2必过点P，AB是两圆的外公切线，A
17、，B为切点，BAPACP，AO1P2.由于O1AAB，O2BAB，BO2P2，O2BP.又ABPO2BP90，ABPBAP90，C、P、B三点共线(2)CD切圆O2于点D，CD2CPCB.在ABC中，CAB90，又APBC，CA2CPCB，故CDCA.6(2014忻州模拟)如图，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于E、D，连接EC、CD. (1)求证：直线AB是O的切线；(2)若tanCED，O的半径为3，求OA的长解：(1)如图，连接OC，OAOB，CACB，OCAB.OC是O的半径，AB是O的切线(2)ED是直径，ECD90，EEDC90，又BCDOCD90，OCDEDC，BCDE，又CBDEBC，BCDBEC，BC2BDBE.tanCED，BCDBEC，设BDx，则BC2x，BC2BDBE，(2x)2x(x6)，BD2，OAOBBDOD235.
