1、第2课时等差数列的综合应用课时过关能力提升基础巩固1一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公差分别是().A.12,12 B.12,1 C.12,2 D.1,12答案:A2等差数列an共有3m项,若前2m项的和为200,前3m项的和为225,则中间m项的和为().A.25B.75C.100D.125解析:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm).3Sm=3S2m-S3m=600-225,Sm=125.中间m项的和为S2m-Sm=200-125=75.答案:B3现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,如
2、果使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为()A.9B.10C.19D.20解析:设堆放成n层正三角形钢管垛时可使剩余钢管最少,由题意可知n(n+1)2200,满足n(n+1)2200,n所取的最大值为19,又当n=19时,n(n+1)2=190,200-190=10.故选B.答案:B4在等差数列an中,a3+a9+a15=21,则S17=.解析:a3+a9+a15=3a9=21,a9=7.S17=17(a1+a17)2=17a9=177=119.答案:1195等差数列an和bn的前n项和分别是Sn,Tn,且a5b5=23,则S9T9=_.解析:S9T9=9(a1+a9)29(b1+b9)2
3、=a5b5=23.答案:236在等差数列an中,a1+a2=2,a3+a4=4,则a5+a6=.解析:由题意得,2,4,a5+a6成等差数列,2+a5+a6=24.a5+a6=6.答案:67某渔业公司今年年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费的总和是万元.解析:设第n年的维修费是an(万元),则an+1-an=4(万元),则每年的维修费构成以a1=12,d=4的等差数列an,所以前10年的维修费的总和是S10=10a1+1092d=1012+10924=300(万元).答案:3008已知在数列an中,an=2n-19,求数列|a
4、n|的前n项和Sn.解an=2n-19,由an0,得n192.当n9时,an0.当n9时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=-(a1+a2+an)=-n(a1+an)2=-n(-17+2n-19)2=n(18-n);当n10时,Sn=|a1|+|a2|+|a9|+|a10|+|an|=-(a1+a2+a9)+a10+a11+an=-2(a1+a2+a9)+a1+a2+an=-29(a1+a9)2+n(a1+an)2=-9(-17-1)+n(-17+2n-19)2=n2-18n+162.Sn=n(18-n),n9,n2-18n+162,n10.9已知等差数列an的前3项分别为a-1,4,2a,
5、记前n项和为Sn.(1)设Sk=2 550,求a和k的值;(2)设bn=Snn,求b3+b7+b11+b4n-1的值.解(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a.a1+a3=2a2,(a-1)+2a=8,即a=3,a1=2,公差d=a2-a1=2.由Sk=ka1+k(k-1)2d,得2k+k(k-1)22=2 550,即k2+k-2 550=0,解得k=50或k=-51(舍去),a=3,k=50.(2)由Sn=na1+n(n-1)2d,得Sn=2n+n(n-1)22=n2+n,bn=Snn=n+1,bn是等差数列.b3+b7+b11+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+(
6、4n-1+1)=(4+4n)n2=2n2+2n.b3+b7+b11+b4n-1=2n2+2n.能力提升1在等差数列an中,已知a3a5=34,则S9S5的值是().A.2720B.94C.34D.125解析:S9S5=9a55a3=9543=125.答案:D2设Sn是等差数列an的前n项和,若S3S6=13,则S6S12等于().A.310B.13C.18D.19解析:S3S6=13,S6=3S3.S6-S3=2S3,S9-S6=S9-3S3.S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,S9-S6=3S3,S9=6S3,S12-S9=4S3,S12=10S3,S6S12=3S310S3=310.答
7、案:A3已知两个等差数列an和bn的前n项和之比为7n+14n+27(nN*),则a11b11等于().A.74B.32C.43D.7871解析:设数列an的前n项和为Sn,数列bn的前n项和为Tn,则a11b11=2a112b11=(a1+a21)21(b1+b21)21=(a1+a21)212(b1+b21)212=S21T21=721+1421+27=43.答案:C4设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=().A.3B.4C.5D.6解析:Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3
8、-0=3.d=am+1-am=3-2=1.Sm=ma1+m(m-1)21=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m1=3,-m-12+m=3.m=5.故选C.答案:C5在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为.解析:S奇=(n+1)(a1+a2n+1)2=165,S偶=n(a2+a2n)2=150.a1+a2n+1=a2+a2n,n+1n=165150=1110,n=10.答案:106在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高层的中心是一块天心石
9、,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?分析由于“每一圈比前一圈多9块”,因此每一圈的石板块数便组成了等差数列,而前9圈石块总数,便是该数列的前9项的和.解(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为an,由题意可知an是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈有石板a9=a1+(9-1)d=9+(9-1)9=81(块).(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板S9=9a1+9(9-1)2d=99+9829=405(块).故第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.7设数列an满足a1=0,且11-an+1-11-an=1.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1-an+1n,记Sn=b1+b2+b3+bn.证明:Sn0.1-1n+11,即Sn1.
