1、两条直线的交点基础过关练题组一求两直线的交点1.(2020江苏宿迁致远中学高二月考)已知直线x=2与直线y=2x-1交于点P,则点P的坐标为()A.(1,5)B.(2,3)C.(3,1)D.(0,0)2.已知直线l1:x-y+4=0与l2:2x+y-1=0相交于点P,求满足下列条件的直线方程:(1)过点P且过原点;(2)过点P且平行于直线l3:x-2y-1=0.题组二根据交点求参数的值或范围3.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为()A.12B.10C.-8D.-64.(2020江苏盐城响水中学高二月考)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x
2、+ky=0相交于一点,则k=()A.-2B.2C.-12D.125.(2020江苏徐州第七中学高二期中)已知直线kx-y+1=0和x-ky=0相交,且交点在第二象限,则实数k的取值范围为()A.(-1,0)B.(0,1C.(0,1)D.(1,+)6.(2020山东潍坊诸城第一中学高二月考)已知三条直线ax+2y+8=0、4x+3y=10和2x-y=10中没有任何两条直线平行,但它们不能围成三角形,则实数a的值为.7.已知直线l1:x-y-1=0,l2:2x-y+3=0,l3:x+my-5=0,若直线l1,l2,l3只有两个交点,则m=.8.(2019江苏淮安盱眙高二期末) 已知三条直线l1:4
3、x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0.(1)若直线l1,l2,l3交于一点,求实数m的值;(2)若直线l1,l2,l3不能围成三角形,求实数m的值.题组三求过两直线交点的直线方程9.(2020江苏高邮中学高二期中)过直线x+y-3=0和2x-y+6=0的交点,且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是()A.4x+2y-9=0B.4x-2y+9=0C.x+2y-9=0D.x-2y+9=010.(2020江苏徐州运河中学高二期中)斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x-2D.y=2x+211.(2020
4、山东济南第二十六中学高二月考)过2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且与4x-3y-7=0平行的直线是()A.3x+4y+17=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y-17=0D.4x-3y+18=012.(2020江苏泰州姜堰第二中学高二月考)过直线l1:x-2y+4=0与直线l2:x+y+1=0的交点,且过原点的直线方程为.13.(2020山东淄博第二中学高二期中)已知两条直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0的交点为P,直线l3的方程为3x-4y+5=0.(1)求过点P且与l3平行的直线方程;(2)求过点P且与l3垂直的直线方程.能力提升练题组一两直线的交点问题1.(202
5、0江苏南京宁海中学高二月考,)两条直线l1:y=kx+1+2k,l2:y=-12x+2的交点在直线x-y=0的上方,则k的取值范围是()A.-12,110B.-,-11012,+C.-110,12D.-,-12110,+2.()如图,ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.3.(2020江苏南京天印高级中学高二月考,)已知直线l过点P(2,3)且与定直线l0:y=2x在第一象限内交于点A,与x轴正半轴交于点B,记AOB 的面积为S(O 为坐标原点),点B(a,0).(1)求实数a的取值范围;(2
6、)求当S取得最小值时,直线l的方程.题组二求过直线交点的直线方程4.(2020上海浦东新区华师大二附中高二月考,)经过P(1,2)的直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于P1、P2两点,且满足P1P=3PP2,则直线l的方程为()A.2x-41y+80=0B.2x+41y-80=0C.2x+41y+80=0D.2x-41y-80=05.(2020江苏扬州高邮第一中学高二月考,)已知直线l经过直线x+3y-4=0与直线3x+4y-2=0的交点P,且垂直于直线x-2y-1=0.(1)求直线l的方程;(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.题组三直线恒过定点问题6
7、.(2020江苏扬州中学高二期中,)已知直线l:(m+3)x+(m-2)y-m-2=0,点A(-2,-1),B(2,-2),若直线l与线段AB相交,则m的取值范围为()A.(-,-44,+)B.(-2,2)C.-32,8D.(4,+)7.(多选)(2020江苏南京师大附中高一期中,)两直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴相交且能构成三角形,则m不可能为()A.-3B.-2C.-1D.08.()已知直线l:3x+y-2+2x+4y+2=0,则直线l过定点.9.(2020江苏盐城东台中学高二月考,)若直线ax-by+2=0(a0,b0)和函数y=cx+2+2(c0,c1)的图象恒过同一个
8、定点,则1a+1b的最小值为.10.()已知两直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0a2)与两坐标轴围成四边形.当a为时,围成的四边形面积取得最小值,最小值为.11.(2020江苏淮安洪泽中学高二期中,)已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.答案全解全析基础过关练1.4两条直线的交点基础过关练1.B联立直线x=2与直线y=2x-1的方程,易得x=2,y=3,故点P的坐
9、标为(2,3).故选B.2.解析(1)x-y+4=0,2x+y-1=0x=-1,y=3P(-1,3),所以过点P与原点的直线方程为y=-3x.(2)根据题意设所求直线方程为x-2y+c=0(c-1),由(1)知点P(-1,3),又点P在该直线上,所以c=7,则所求的直线方程为x-2y+7=0.3.B将点(2,-1)代入3x+my-1=0,可得m=5,将点(2,-1)代入4x+3y-n=0,可得n=5,所以m+n=10.4.C直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的方程联立,可得交点坐标为(-1,-2),代入直线x+ky=0的方程中,得-1-2k=0,解得k=-12.故选C.5.A易得k1.联立
10、kx-y+1=0与x-ky=0,得x=k1-k2,y=11-k2,则k1-k20,解得-1k2-4k2k+1,k-,-12110,+.故选D.2.解析由方程组x-2y+1=0,y=0得顶点A(-1,0),则边AB所在直线的斜率kAB=2-01-(-1)=1.BAC的平分线所在直线的方程为y=0,直线AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为y=-(x+1).BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,kBC=-2.又点B的坐标为(1,2),BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.由y=-2(x-1)+2,y=-(x+1)得C(5,-6).综上,A(-1,0),C(5,-6).3.解析(1)当
11、直线l与直线l0:y=2x平行时,两直线无交点,此时kBP=32-a=2,解得a=12,所以a12,又因为点B(a,0)在x轴正半轴上,且直线l与定直线l0在第一象限内交于点A,所以a12.(2)当直线l的斜率不存在时,B(2,0),A(2,4),此时S=1224=4.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2)+3,由于直线的斜率存在,所以结合(1)知a12且a2,又因为kBP=32-a,所以k2或k0,由y=k(x-2)+3,y=2x得x=3-2k2-k,y=6-4k2-k,即A3-2k2-k,6-4k2-k,所以S=122k-3k6-4k2-k=4k2-12k+9k2-2k,即
12、(4-S)k2-(12-2S)k+9=0,当4-S=0时,S=4,k=94;当4-S0时,=-(12-2S)2-36(4-S)0,整理得S(S-3)0,得S3且S4.综上,S的最小值为3,此时k2-6k+9=0,解得k=3,所以直线l的方程为y=3(x-2)+3,即y=3x-3.4.A设P1(a,b),则a-3b+10=0,P(1,2),P1P=3PP2,(1-a,2-b)=3(xP2-1,yP2-2),xP2=4-a3,yP2=8-b3,代入l2得24-a3+8-b3-8=0,联立,解得a=-347,b=127,kl=127-2-347-1=241,直线l的方程为y-2=241(x-1),即
13、2x-41y+80=0.故选A.5.解析(1)联立x+3y-4=0,3x+4y-2=0,解得x=-2,y=2,则P(-2,2),直线x-2y-1=0,即y=12x-12的斜率k=12,令直线l的斜率为k1,因为直线l与直线x-2y-1=0垂直,所以kk1=-1,解得k1=-2,因为直线l经过点P(-2,2),所以直线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.(2)直线l:2x+y+2=0与x轴的交点为(-1,0),与y轴的交点为(0,-2),故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=1212=1.6.C直线l的方程变形得(x+y-1)m+(3x-2y-2)=0.由x+y-1=0,3x
14、-2y-2=0得x=45,y=15,直线l恒过点C45,15,kAC=15+145+2=37,kBC=15+245-2=-116,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=45,满足条件,此时m=2;当直线l的斜率存在时,由图可知直线l的斜率k的取值范围为k-116或k37,又k=-m+3m-2,-m+3m-2-116或-m+3m-237,即2m8或-32m2,m的取值范围为-32,8.故选C.7.ABD由题知,两直线与x轴相交于同一个点,即m=0时,不能构成三角形;方程(m+2)x-y+m=0变形得m(x+1)+(2x-y)=0,由x+1=0,2x-y=0,解得x=-1,y=-2,即直线(m
15、+2)x-y+m=0经过定点(-1,-2),当直线(m+2)x-y+m=0的斜率k=m+2=0,即m=-2时,直线y=-2,x+y=0与x轴不能构成三角形;当直线(m+2)x-y+m=0与直线x+y=0平行,即m=-3时,直线x+y+3=0,x+y=0与x轴不能构成三角形.综上,两直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴相交且不能构成三角形的m的值可能为0,-2,-3.故选ABD.8.答案(-2,2)解析根据题意将直线l的方程化为3x+4y-2+(2x+y+2)=0.由3x+4y-2=0,2x+y+2=0得x=-2,y=2,所以直线l过定点(-2,2).9.答案52+6解析因为y=cx+
16、2+2的图象过定点P(-2,3),所以直线ax-by+2=0也过定点P(-2,3),于是-2a-3b+2=0,即2a+3b=2.因为1a+1b(2a+3b)=5+3ba+2ab5+26,所以1a+1b52+6,当且仅当a=6-2,b=23(3-6)时,等号成立.故1a+1b的最小值为52+6.10.答案12;154解析两直线l1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a2(y-2),都过点(2,2),如图.设两直线l1,l2的交点为C,且它们的斜率分别为k1和k2,则C(2,2),0a0,1+2k0,解得k0;当k=0时,直线为y=1,符合题意.综上,k的取值范围是k0.(3)依题意得A-1+2kk,0,B(0,1+2k),且-1+2kk0,解得k0.所以S=12OAOB=12-1+2kk|1+2k|=12(1+2k)2k=124k+1k+412(22+4)=4,当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立,所以Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
