1、8.7抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.2.抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O对称轴x轴焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0)|PF|=x0+p2|PF|=-x0+p2|PF|=y0+p2|PF|=-
2、y0+p21.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2(为弦AB所在直线的倾斜角);(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(4)SAOB=p22sin(为弦AB所在直线的倾斜角);(5)CFD=90.2.抛物线y2=2px(p0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若
3、一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4,0.()2.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为()A.(0,-2)B.(0,2)C.0,-132D.0,1323.(2020江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程为.5.(2020新高考全国1,13)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C
4、交于A,B两点,则|AB|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用【例1】(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为()A.22B.2C.322D.22(2)(多选)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为324,则点M的坐标可能为()A.(0,-4)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,4)(3)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线C的准线的距离为()A.6B
5、.5C.4D.3解题心得1.涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上一点,则|PF|=x0+p2.若过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p.若遇到抛物线其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=()A.8B.9C.10D.12(2)(2020河北衡水三模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A
6、,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x(2)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6
7、,则此抛物线方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M(x0,22)x0p2是抛物线C上的一点,以点M为圆心的圆与直线x=p2交于E,G两点,若sinMFG=13,则抛物线C的方程为()A.y2=xB.y2=
8、2xC.y2=4xD.y2=8x(2)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.22D.324考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)已知圆C1:(x-3)2+(y-22)2=1和焦点为F的抛物线C2:y2=8x,N是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,当点M在M1时,|MF|+|MN|取得最小值,当点M在M2时,|MF|-|MN|取得最大值,则|M1M2|=()A.22B.32C.42D.17(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直
9、线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”这一原理来解决问题.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”这一原理来解决问题.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.32D.4(2)设P
10、为抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,点B(3,2).求:|PB|+|PF|的最小值.点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则1|PM|+4|QN|的值不可能为()A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.52B.3C.3+1D.23-1解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题时,要注意距离的转
11、换,如将抛物线上的点到焦点的距离转换为抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F为抛物线C1:y2=2px(p0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则|AB|CD|=()A.16B.4C.83D.53(2)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=833yD.x2=1633y(3)(2021年1月8
12、省适应测试)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为()A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0考点直线与抛物线的关系【例5】(2019全国1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解题心得解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线
13、的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.对点训练5(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F,与抛物线C分别交于A,B两点,且直线l与x轴不垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),则SAOB=()A.22B.3C.6D.36(2)设A,B为曲线C:y=x22上两点,点A,B的横坐标之和为2.
14、求直线AB的斜率;设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.指点迷津(三)求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.(3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一
15、个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即x0=f(x,y),y0=g(x,y),将x0,y0代入已知曲线即得所求.(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系x=f(t),y=g(t),消去参数即得所求轨迹方程.(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程【例1】已知ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定点P(1,1).(1)求ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.解(1)由
16、题意得AC的中点坐标为(0,2),AB的中点坐标为12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-22,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-2=-22x,AB的中垂线的方程为y-32=-x-12.由y-32=-x-12,y-2=-22x,得x=2,y=0,所以ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MNMP,得NMPM=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为x-
17、322+y-122=12.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点列式化简检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】已
18、知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=
19、-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且过
20、B点(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图所示,抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E:y2=2x.设Cy122,y1,Dy222,y2,y10,y20,切线l1的斜率为k,则切
21、线l1:y-y1=kx-y122,代入y2=2x,得ky2-2y+2y1-ky12=0,由=0,解得k=1y1,所以l1的方程为y=1y1x+y12,同理l2的方程为y=1y2x+y22.联立y=1y1x+y12,y=1y2x+y22,解得x=y1y22,y=y1+y22.易知CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足x02+y02=8,x02,22,由y2=2x,x0x+y0y=8,得x0y2+2y0y-16=0,则y1+y2=-2y0x0,y1y2=-16x0,代入x=y1y22,y=y1+y22,可得M(x,y)满足x=-8x0,y=-y0x0,即x0=-8x,y0=8yx,代入
22、x02+y02=8,化简得x28-y2=1,因为x02,22,所以x-4,-22.所以动点M的轨迹方程为x28-y2=1,x-4,-22.方法总结对点训练3如图,已知P是椭圆x24+y2=1上一点,PMx轴于点M.若PN=NM.(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求的值.四、参数法求轨迹方程【例4】点A和点B是抛物线y2=4px(p0)上除原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB于点M,求点M的轨迹方程.解当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0).当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k0),由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+2(kb-
23、2p)x+b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(2p-kb)k2,x1x2=b2k2.所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pbk.由OAOB,知x1x2+y1y2=0,则b=-4pk.设点M(x,y),由OMAB,知yxk=-1,y0,则k=-xy.由及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y0).又点(4p,0)的坐标满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参求参消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.对点训练4在平面直角坐标系中,
24、O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2),若点C满足OC=OA+t(OB-OA),其中tR,则点C的轨迹方程是.五、交轨法求轨迹方程【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满足NB1MB1,NB2MB2.(1)求动点N的轨迹方程;(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.解(1)(方法1)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-
25、x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3x,得y2-9=x02y02-9x2.又x0218+y029=1,所以y2-9=181-y029y02-9x2=-2x2,所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(方法2)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3x,联立,解得x=y02-9x0,y=-y0.又x0218+y029=1,所以x=-x02,故x0=-2x,y0=-
26、y,代入x0218+y029=1,得y29+x292=1.所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(方法3)设直线MB1:y=kx-3(k0),则直线NB1:y=-1kx-3.直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.所以直线NB2:y=2kx+3.由得点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(2)由(1)(方法3)得直线NB1:y=-1kx-3,直线NB2:y=2kx+3.联立,解得x=-6k2k2+1,即xN=-6k2k2+1,又xm=1
27、2k2k2+1,故四边形MB2NB1的面积S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=312|k|2k2+1+6|k|2k2+1=54|k|2k2+1=542|k|+1|k|2722,当且仅当|k|=22时,S取得最大值2722.方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.对点训练5如图,椭圆C0:x2a2+y2b2=1(ab0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=t12,bt1a.点A1,A2分别为椭圆C0的左、右顶点.动圆C1与椭圆C0相交于A,B,C,D四点.(1)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方
28、程;(2)设动圆C2:x2+y2=t22与椭圆C0相交于A,B,C,D四点,其中bt20)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,设点M(0,a),因为B为FM的中点,所以点Bp4,a2.又点B到抛物线准线的距离为324,所以p4+p2=324,解得p=2.所以点B24,a2,抛物线的方程为y2=22x.又点B在抛物线上,所以a24=2224,解得a=2.所以点M的坐标为(0,2)或(0,-2).(3)由题意得,抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k0)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AMl于点M,BNl于点N,连接OB,由|FA|=2|FB|,得|
29、AM|=2|BN|,则B为AP的中点.因为O为PF的中点,所以|OB|=12|FA|,所以|OB|=|FB|,所以点B的横坐标为1.又B为AP的中点,点P(-2,0),所以点A的横坐标为4,所以点A到抛物线C的准线的距离为4+2=6.故选A.对点训练1(1)B(2)A(1)如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,设|AB|=|BC|=m,直线l的倾斜角为.则|BE|=m|cos|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cos|),所以|cos|=|AD|AC|=m(1-|cos|)2m,解得|cos|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2psi
30、n2,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)由已知得抛物线的准线方程为x=-1,根据抛物线的定义,知|FA|=1+1=2,|FB|=x1+1,|FC|=x2+1,则|FA|+|FB|+|FC|=2+x1+1+x2+1=10,故x1+x2=6.故选A.例2(1)D(2)B(1)因为ABx轴,且AB过焦点F,所以|AB|=2p,所以SCAB=122pp2+4=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x.故选D.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为|BC|=2|BF|,所以|B
31、C|CF|=23,所以x2+p2p=23,解得x2=p6.又点B在抛物线y2=2px上,所以y2=3p3.不妨令点Bp6,-3p3,又点Fp2,0,则kl=3p3p2-p6=3,所以直线l的方程为y=3x-p2.由y=3x-p2,y2=2px消去y,得12x2-20px+3p2=0,解得x=p6或x=3p2.所以x1=3p2,所以|AF|=x1+p2=2p=6,所以抛物线方程为y2=6x.对点训练2(1)C(2)D(1)如图所示,作MDEG,垂足为D.因为点M(x0,22)x0p2在抛物线上,所以8=2px0,即px0=4.由题意,可知|DM|=x0-p2,|MF|=x0+p2,因为sinMF
32、G=13,所以|DM|=13|MF|,即x0-p2=13x0+p2,解得x0=p.由,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.(2)由已知得点F的坐标为p2,0,因为点A(0,2),所以AF的中点B的坐标为p4,1.因为点B在抛物线上,所以1=p22,解得p=2或p=-2(舍去).所以点F的坐标为22,0,点B的坐标为24,1,所以|BF|=22-242+(0-1)2=324.故选D.例3(1)D(2)A(1)由已知得点C1(3,22),F(2,0),记抛物线C2的准线为l,如图,过点M作直线l的垂线,垂足为D,过点C1作直线l的垂线,垂足为D1,则|M
33、F|+|MN|=|MD|+|MN|MD|+|MC1|-1|C1D1|-1,当且仅当M,C1,D1三点共线,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|+|MN|取得最小值,则点M1的坐标为(1,22),|MF|-|MN|MF|-(|MC1|-1)=|MF|-|MC1|+1|FC1|+1,当且仅当M为线段FC1的延长线与抛物线的交点,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|-|MN|取得最大值,易知直线FC1的方程为y=22(x-2),由y=22(x-2),y2=8x,解得x=1,y=-22或x=4,y=42.所以点M2的坐标为(4,42).所以|M1M2|=(4-1)2+(42-22)2=
34、17.故选D.(2)由题意,可知直线l1,l2的斜率都存在且不为0,点F(1,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1的方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2k2+4k2.因为l1l2,所以直线l2的方程为y=-1k(x-1).同理,x3+x4=2+4k2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=2k2+4k2+2+4k2+4=4k2+4k2+824k24k2+8=16,当且仅当4k2=4k2,即k=1时,等号成立.故|AB|+|DE
35、|的最小值为16.对点训练3(1)C设直线AB的方程为x=my+t,点A(x1,y1),B(x2,y2).由x=my+t,y2=2x,得y2-2my-2t=0,所以y1y2=-2t.由题意可知OAOB,则x1x2+y1y2=(y1y2)24+y1y2=0,即t2-2t=0.由题意可知t0,所以t=2,所以直线AB过定点(2,0).所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-12=32.故选C.(2)解由题意可知抛物线的准线方程为x=-1.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,过点P作PM垂直准线于点M,由抛物线的定义可知|PF|=|PM|,则|PB|+|PF|=|PB|+|PM|BQ|=4,当
36、点P为BQ与抛物线的交点时,等号成立.故|PB|+|PF|的最小值为4.由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,点A在准线上.由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于|PF|.于是,问题转化为|PA|+|PF|的最小值.如图,显然,当点P为AF与抛物线的交点时,|PA|+|PF|取最小值,此时最小值为1-(-1)2+(0-1)2=5.例4(1)A(2)D(1)作图如下.由题意可知,F为圆x2+y2-2x=0的圆心,设|PF|=m,|QF|=n,则|PM|=m-1,QN=n-1.根据抛物线的常用结论,可知1m+1n=2p=1,则m+nmn=1,即m+n=mn,所以1|PM|
37、+4|QN|=1m-1+4n-1=4m+n-5mn-(m+n)+1=4m+n-5.又4m+n=(4m+n)1m+1n=4+4mn+nm+15+24mnnm=9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-54,即1|PM|+4|QN|4.故1|PM|+4|QN|的值不可能为3.故选A.(2)设点P的坐标为14m2,m,由圆的方程(x-4)2+y2=1,可得圆心坐标为A(4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14m2-4)2+m2=116(m2-8)2+1212,所以|PA|23.因为Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为23-1.故选D.对点训练4(1)A(2
38、)A(3)B(1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C1的焦点F,所以|BF|=|CF|=p2,所以|AB|CD|=|AF|-p2|DF|-p2.设点A(xA,yA),D(xD,yD),由抛物线的定义得|AF|-p2=xA,|DF|-p2=xD.由4x-3y-2p=0,y2=2px,整理得8x2-17px+2p2=0,解得xA=2p,xD=p8.故|AB|CD|=xAxD=2pp8=16.故选A.(2)因为双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,所以ca=2,即c=2a,所以b=c2-a2=3a,所以双曲线C1的渐近线方程为3xy=0.又抛物线C2:x2=2py(
39、p0)的焦点0,p2到双曲线的渐近线的距离为2,所以p23+1=2,解得p=8.所以抛物线C2的方程为x2=16y.例5解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,则x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x,得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x,得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1
40、,y1=3.代入C的方程得x2=13,x1=3.故|AB|=4133.对点训练5(1)A由已知得点F(1,0).设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点E(x0,y0),则线段AB的垂直平分线的方程为y=-1k(x-5).由y=k(x-1),y2=4x,得ky2-4y-4k=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4,所以y0=12(y1+y2)=2k,x0=y0k+1=2k2+1.把点E2k2+1,2k的坐标代入线段AB的垂直平分线的方程y=-1k(x-5),可得2k=-1k2k2+1-5,解得k2=1.所以SAOB=121|y1-y2|=
41、12(y1+y2)2-4y1y2=1216k2+16=22.故选A.(2)解设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x122,y2=x222,x1+x2=2,故直线AB的斜率为y1-y2x1-x2=x1+x22=1.由y=x22,得y=x.设点M(x3,y3),由题意知x3=1,于是点M1,12.设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(1,1+m),|MN|=m+12.将y=x+m代入y=x22,得x2-2x-2m=0.由=4+8m0,得m-12,则x1+x2=2,x1x2=-2m.从而|AB|=2|x1-x2|=22(1+2m).因为AMBM,所以|AB|=2|
42、MN|,即2(1+2m)=m+12,解得m=72或m=-12(舍去).所以直线AB的方程为y=x+72.指点迷津(三)求曲线轨迹方程的方法对点训练1解(1)由|MP|=5|MQ|,得(x-26)2+(y-1)2=5(x-2)2+(y-1)2,化简得x2+y2-2x-2y-23=0,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长度为252-32=8,所以l:x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到l的距离d=|
43、3k+2|k2+1.由题意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512,所以直线l的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.对点训练2解(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=64=|AB|,故点P轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=5.又点P不在x轴上,因此所求轨迹方程为x29+y25=1(y0).(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=1
44、2,c=2,b=152,因此所求轨迹方程为4x2-415y2=1x12.(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此所求轨迹方程为y2=-8x.对点训练3解(1)设点P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以PN=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),NM=(x1-x,-y)=(0,-y),由PN=NM得(0,y-y1)=(0,-y).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因为点P(x1,y1)在椭圆x24+y2=1上,所以x124+y12=1,所以x24+(1+)2y2=1,故x24+(1+)
45、2y2=1为所求的N点的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+)2=14,解得=-12或=-32.故当=-12或=-32时,N点的轨迹是圆.对点训练4y=2x-2设点C(x,y),则OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.对点训练5(1)解设点A(x1,y1),B(x1,-y1),又点A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=y1x1+a(x+a),直线A2B的方程为y=-y1x1-a(x-a).由得y2=-y12x12-a2(x2-a2).又点A(x1,y1)在椭圆C0上,故x12a2+y12b2=1.从而y12=b21-x12a2,代入得x2a2-y2b2=1(x-a,y0).(2)证明设点A(x2,y2),矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,4|x1|y1|=4|x2|y2|,故x12y12=x22y22.点A,A均在椭圆上,b2x121-x12a2=b2x221-x22a2,由t1t2,知x1x2,x12+x22=a2.从而y12+y22=b2,t12+t22=a2+b2,即t12+t22为定值.
