1、学科网（北京）股份有限公司湖南省百校大联考 2023-2024 年高二 12 月考试数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至 431一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合20Ax x
2、=，1,2,3,4B=，则 AB=（）A3,4 B2,3,4 C 4 D1,2 2复数 z 满足()2i7i0z+=，则 z=（）Ai3 Bi3+C3i D3i+3已知 A 为抛物线C：22xpy=（0p）上一点，点 A 到C 的焦点的距离为 9，到 x 轴的距离为 6，则 p=（）A3 B4 C6 D8 4若直线 1l：10axy+=与直线 2l：()210axay+=平行，则a=（）A 1 B2 C 1 或 2 D1 或 2 5有编号互不相同的五个砝码，其中 3 克、1 克的砝码各两个，2 克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过 4 克的概率为（）A 310 B 15
3、 C 25 D 12 6已知函数()()sinf xAx=+（0A，0）的部分图象如图所示，则34f=（）学科网（北京）股份有限公司A1 B 1 C2 D2 7已知等差数列 na的前n 项和为nS，且360S，370S，0b）的左焦点，O 为坐标原点，过点 F 且斜率为73的直线与 E 的右支交于点 M，3MNNF=，MFON，则 E 的离心率为（）A3 B2 C 3 D2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9甲同学通过数列 3，5，9，17，33，的前 5 项，得到该
4、数列的一个通项公式为2nnam=+，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（）A1m=B2m=C该数列为递增数列 D665a=10某班有男生 30 人；女生 20 人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为 170，身高的方差为 24，女生身高的平均值为 160，身高的方差为 19，则（）A该班全体学生身高的平均值为 165 B该班全体学生身高的平均值为 166 C该班全体学生身高的方差为 46 D该班全体学生身高的方差为 44 11已知椭圆C：22221xyab+=（0a，0b）与双曲线 D：2213yx=有相同的焦点1F，2F，且它们的离心率互为倒数，P 是C 与 D 的一个公共点，则（
5、）A121212PFPFF F=B12122PFPFF F+=C12PF F为直角三角形 DC 上存在一点Q，使得12QFQF 12数学探究课上，小王从世界名画记忆的永恒中获得灵感，创作出了如图 1 所示的垂直时光已知垂直时光是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径 MN 折成了直二面角（其中 M 对应钟上数字 3，N 对应钟上数字 9）设 MN 的中点为O，4 3MN=已知长度为 2 的时针OA指向了钟上数字 8，长度为 3 的分针OB 指向了钟上数字 12，现在小王准备安装长度为 3 的秒针OC（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细
6、），则下列说法正确的是 学科网（北京）股份有限公司 A若秒针OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则OABC B若秒针OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 NA平面OBC C若秒针OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则 BC 与 AM 所成角的余弦值为 147 D若秒针OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则四面体OABC 的外接球的表面积为1033 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量()2,mx=，()4,2nx=+，若mn，则 x=_ 14已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0 x 且1k），则点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿
7、波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知点()1,0A，()4,0C，()4,9D，动点 P 满足12PAPC=，则2 PDPC的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在正项等比数列 na中，14a=，4322aaa=+（1）求 na的通项公式；（2）若2lognnba=，证明 nb是等差数列并求 nb的前n 项和nS 18（12 分）已知圆1C：22450 xyx+=与圆2C 关于直线l：10 xy+=对称（1）求2C 的标准方程；（2）记1C 与2C 的公共点为 A，B，求四边形12AC BC 的面积 学科网（北
8、京）股份有限公司19（12 分）ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知2c，2a，23b 成等差数列（1）若()()coscoscosacBbAC=，求 sinsinAB（2）若1c=，当cosB 取得最小值时，求ABC的面积 20（12 分）已知正项数列 na的前n 项和为nS，且()282nnSa=+（1）求 na的通项公式；（2）若11nnnba a+=，求数列 nb的前n 项和nT 21（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，90ABCBAD=，22 2BCAD=，PAB与PAD均为正三角形 （1）证明：AD平面 PBC （2）证明：PB 平面 PCD （3）设平
9、面 PAB 平面1PCDl=，平面 PAD 平面2PBCl=，若直线 1l 与 2l 确定的平面为平面，线段AC 的中点为 N，求点 N 到平面 的距离 22（12 分）已知双曲线C：22221xyab=（0a，0b）的焦距为2 7，点()4,3M在C 上（1）求C 的方程；（2）1F，2F 分别为C 的左、右焦点，过C 外一点 P 作C 的两条切线，切点分别为 A，B，若直线 PA，PB互相垂直，求12PF F周长的最大值 高二数学试卷参考答案 1A 因为2Ax x=，所以3,4AB=学科网（北京）股份有限公司2D ()()7i2i7i155i3i2i55z+=+3C 因为点 A 到C 的焦
10、点的距离为 9，到 x 轴的距离为 6，所以32p=，则6p=4B 因为 12ll，所以220aa+=，解得1a=或2a=当1a=时，1l 与 2l 重合，不符合题意当2a=时，12ll，符合题意 5A 记 3 克的砝码为1A，2A，1 克的砝码为1C，2C，2 克的砝码为 B，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()()1211112221221212,A AA BA CA CA BA CA CB CB CC C=，共有 10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过 4 克”包含 3 个样本点，故所求的概率为 310 6B 由函数()()sinf xAx=+的图像
11、可知2A=，313341234T=，则22T=由13132sin 221212f=+=，解得523k=+，则()52sin 23f xx=，故3352sin 21443f=7C ()()()13636136181936181802aaSaaaa+=+=+，()1373719373702aaSa+=，190a，得该数列为递增数列 10BC 由题可知，该班全体学生身高的平均值为 3217016016655+=，该班全体学生身高的方差为()()223224170 16619160 1664655+=学科网（北京）股份有限公司11BC 由题可知，()12,0F，()2 2,0F，D 的离心率为 2，则
12、C 的离心率为 12，则4a=，2 3b=，121212PFPFF F=，12122PFPFF F+=A 不正确，B 正确根据对称性，不妨设 P 在第一象限，则12128,2,PFPFPFPF+=解得125,3,PFPF=则2221212PFPFF F=+，所以12PF F为直角三角形C 正确设1QFx=，则28QFx=，若12QFQF，则2221212QFQFF F+=，即()22816xx+=，方程无解D 不正确 12ACD 如图，以O 为坐标原点，OM，OB 所在直线分别为 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A，()0,0,3B，()0,2 3,0M，()0,
13、2 3,0N若秒针OC 指向了钟上数字 5，则3 3 3,022C，()1,3,0OA=，3 3 3,322BC=，()0,0,3OB=，则0OA BC=，0OA OB=，所以OABC，OAOB，故OA是平面OBC 的一个法向量因为()1,3,0NA=，所以20OA NA=，所以OA与 NA不垂直，从而 NA与平面OBC 不平行A 正确，B 不正确 若秒针OC 指向了钟上数字 4，则3 3 3,022C，()1,3 3,0AM=，3 3 3,322BC=，1214cos,72 73 2AM BCAM BCAM BC=由1 5 3,022AC=，得19AC=因为120AOC=，所以OAC外接圆的
14、半径192sin3ACrAOC=，则四面体OABC 的外接球的半径294Rr=+，则210312R=，故四面体OABC 的外接球的表面积为210343R=C，D 正确 132 或 4 因为mn，所以()()2420 x x+=，解得2x=或 4 学科网（北京）股份有限公司14 2ln3 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f=，()()11ln3ff=，则()()0212ln3ff+=154 设经过n 年后，该商品年产量超过 20000 件，则10000 1.220000n，即1.22n 因为31.21.7282=，所以至少需要经过 4 年 166 10 设(),P x y，则
15、()()22221124PAxyPCxy+=+，整理得224xy+=，则 P 是圆C：224xy+=上一点，故()2226 10PDPCPDPAAD=，当且仅当 A，D，P 三点共线，且 A 在 DP 之间时取得最大值 17解：（1）设 na的公比为q，由4322aaa=+，得220qq=，解得2q=或1q=（舍去），因为14a=，所以1112nnnaa q+=（2）由（1）可知，122loglog 21nnnban+=+，则()1211nnbbnn+=+=因为12b=，所以 nb是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，故()211322nn ndnnSnb+=+=18解：（1）将1C 的方程
16、转化为()2229xy+=，知1C 的圆心为()2,0，半径为 3 设2C 的圆心为(),a b，半径为r，因为1C 与2C 关于直线l：10 xy+=对称，所以210,2201,23,abbar+=，解得1,3,3,abr=故2C 的标准方程为()()22139xy+=（2）()()22122 1033 2C C=+=，根据对称性可知1C 到直线 AB 的距离123 222C Cd=，学科网（北京）股份有限公司则22 93 2ABd=，则四边形12AC BC 的面积12192SAB C C=19解：（1）因为()()coscoscosacBbAC=，所以()()sinsincoscoscos
17、sinACBACB=，则sincossincoscossincossinABCBABCB=，则sincoscossinsincoscossinABABCBCB=，则()()sinsin,ABCB=所以 ABCB=，即 AC=或 ABCB+=（舍去）因为2c，2a，23b 成等差数列，所以22232cba+=由 AC=，得ac=，则223ab=，即3ab=，则 sin3sinAaBb=（2）由22232cba+=，得2222133bac=，则22222222122233cos22263633acacacbacacBacaccaca+=+=，当且仅当22ac=时，等号成立，此时25sin1 cos
18、3BB=，所以ABC的面积15sin23SacB=20解：（1）当1n=时，()2111828Saa=+=，解得12a=当2n 时，由()282nnSa=+，得()21182nnSa=+，则2211844nnnnnaaaaa=+，则()()1140nnnnaaaa+=因为0na，所以14nnaa=，所以 na是以 2 为首项，4 为公差的等差数列，则()1142naandn=+=（2）由（1）可知()()11111142424 4242nnnba annnn+=+，则1 111 111114 264 6104 4242nTnn=+学科网（北京）股份有限公司1 114 24284nnn=+21（
19、1）证明：因为90ABCBAD=，所以 ABBC，ABAD，所以 ADBC，因为 AD 平面 PBC，BC 平面 PBC，所以 AD平面 PBC （2）证明：取 BC 的中点 E，连接 DE，则四边形 ABED 为正方形 过 P 作 PO 平面 ABCD，垂足为O 连接OA，OB，OD，OE 由PAB和PAD均为正三角形，得 PAPBPD=，所以OAOBOD=，即点O 为正方形 ABED 对角线的交点，则OEBD，因为 PO 平面 ABCD，所以 POOE，又 BDPOO=，所以OE 平面 PBD，所以OEPB，因为O 是 BD 的中点，E 是 BC 的中点，所以OECD，因此 PBCD 因为
20、22222BDABADPBPD=+=+，所以 PBPD，又CDPDD=，所以 PB 平面 PCD （3）解：设 ABCDQ=，连接 PQ，则直线 1l 为直线 PQ，因为 ADBC，平面 PAD 平面2PBCl=，所以2BCl 由（1）知，OE，OB，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，OE的方向为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B，()2,1,0C，()1,0,0A，()0,0,1P，()2,1,0Q，11,022N ()2,1,1PQ=，()2,2,0BC=，设平面 的法向量为(),nx y z=，则 nBC，nPQ，所以20,220,xyzxy=，取1y=，得
21、()1,1,3n=又11,122PN=，所以点 N 到平面 的距离33 111111PN ndn=学科网（北京）股份有限公司22解：（1）由题可知，2222222 7,1691,cabcab=+，解得2,3,ab=故C 的方程为22143xy=（2）由题可知，直线 PA，PB 的斜率均存在，设(),P m n，过 P 且与C 相切的直线l：ykxt=+，联立方程组221,43,xyykxt=+整理得()2223484120kxktxt=，则()()()2222284 3441248144 1920ktkttk=+=，整理得2243tk=从而()2224230mkmnkn+=因为切线 PA，PB 互相垂直，所以2122314nk km+=，即221mn+=()221782 7PFmnm=+=+，()222782 7PFmnm=+=，则()2212162 642832PFPFm+=+，则124 2PFPF+，当且仅当0m=时，等号成立 因为122 7F F=，所以12PF F周长的最大值为 4 22 7+
