1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修5 第二章 数 列成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 数 列 第二章 第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 23 等比数列第二章 第3课时 等比数列的前n项和第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课 时 作 业 4课前自主预习 1第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课前自主预习第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 一个
2、穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：在30天中，每天借给穷人10万元借钱第一天，穷人还1分钱；第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的2倍，30天后，互不相欠穷人听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难本节课我们来想个办法帮助这个穷人第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 1等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比公式Sn q1 q1Sn q1 q1na1 a11qn1qna1 a1anq1q第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新
3、课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 2.等比数列前n项和的性质(1)在等比数列的前n项和公式Sna11qn1q中，如果令Aa1q1，那么Sn_.(2)在等比数列an中，Sn为其前n项和当q_且k为_时，Sk，S2kSk，S3kS2k(kN)不是等比数列；当_或k为_时，数列Sk，S2kSk，S3kS2k(kN)是等比数列AqnA 1 偶数 q1 奇数第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 答案 C1(2016高新一中)在等比数列an中，a3 32，其前三项的和S392，则数列an的公比q()A12 B12C12或1 D12或1第二章 2.3 第1课时
4、成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 由题意，可得a1q2 32 ，a1a1qa1q2 92，由，得1qq2q23，解得q12或1.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 2设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则 S5S2()A11 B5C8 D11答案 D解析 由8a2a50，得q3a5a28，q2.S5S2a1125a112211.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 3设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5()A152 B314C334
5、 D172答案 B第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a231，即a31.S37，a1a2a3 1q21q17，即6q2q10.故q12，或q13(舍去)，a1 1q24.S541 1251128(1 125)314.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 4(2015新课标文，13)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.答案 6解析 因为a12，an12an，所以an1an 2，即数列an是公比
6、为2，首项为2的等比数列，则Sn212n122(2n1)126，2n163,2n64，所以n6.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 5设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1|a2|a3|a4|_.答案 15解析 本题考查等比数列基本运算a11，q2，则|a2|2，a34，|a4|8，a1|a2|a3|a4|15.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 6等比数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y3x1m的图象上，求m的值解析 点(n，Sn)在函数y3x1m的图象上，Sn3n1m.a1S19m
7、，a2S2S118，a3S3S254，aa1a3，即181854(9m)，解得m3.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课堂典例讲练第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 在等比数列an中，a1an66，a2an 1128，Sn126，求n和q.分析 本题可用给出的三个条件组成关于a1、n、q的方程组来解，但较为繁琐，如果利用等比数列的性质，将a2an1转变成a1an，这样易解得a1和an，然后再求n和q则较为简便等比数列求和公式中有关基本量的计算第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版
8、 数学 必修5 解析 a2an1a1an，a1an128，解方程组a1an128a1an66 得a164an2，或a12an64.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 将代入Sna1anq1q，可得q12，由ana1qn1可解得n6.将代入Sna1anq1q，可得q2，由ana1qn1可解得n6.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 点评(1)解此类问题的一般思路为列方程组解出相关量，但常运用等比数列的性质使问题由繁化简(2)当已知a1、q(q1)时，用公式Sna11qn1q求和方便，如果已知a1、q、an时，
9、用公式Sna1anq1q 较为方便第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5()A35 B33C31 D29答案 C第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 设公比为q，由a2a32a1，得a1a42a1，又a10，a42，又a42a752，a714，q3a7a418，q12，a116.S5a11q51q16112511231.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 在等比数列
10、an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.等比数列前n项和的性质解析 解法一：S2n2Sn，q1.由已知得a11qn1q48 a11q2n1q60 得1qn54，即qn14，第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 代入得 a11q64，S3na11q3n1q64(1 143)63.解法二：an为等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，S3nS2nSn2SnS2n60482486063.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 等比数列an中，S27，S691，求S4
11、.解析 解法一：an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或21.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2S2S2q2S2(1q2)0，S428.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解法二：S27，S691，q1.a11q21q7 a11q61q91 ，得q4q2120，q23，q 3.当q 3时，a17 312，S4a11q41q28.当q 3时，a17 312，S4a11q41q28.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 等比数列前n项和公式的实际应
12、用从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800(115)万元，第n年的投入为800(115)n1万元所以，n年内的总投入为：an80
13、0800(115)800(115)n14 0004 000(45)n(万元)；第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400(114)万元，第n年旅游业收入为400(114)n1万元所以n年内的旅游业总收入为bn400400(114)400(114)n11 600(54)n1 600(万元)第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即1 600(54)n1 6004 0004 000(45)n0，化简得2
14、(54)n5(45)n70，设(45)nx，代入上式得5x27x20.解此不等式，得x1(舍去)，即(45)nT10，故王明选择了 A 公司第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 错位相减法求数列的前n项和求数列12，34，58，716，2n12n的前 n 项和分析 本题中的数列是由数列 1,3,5,7，与12，14，18，116，的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列是等比数列，可用错位相减法求和第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 设 Sn12 322 5232n12n，则 2Sn132
15、 5222n12n1.，得Sn12(12 122 123 12n1)2n12n12121 12n11122n12n12 12n22n12n32n32n，Sn32n32n.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1、a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析(1)令n1，得2a1a1a，即a1a，因为a10，所以a11，令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1
16、Sn,2an11Sn1两式相减得2an2an1an，即an2an1，于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列，因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 (2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 易错疑难辨析第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学
17、必修5 求和1,3x,5x2,7x3，(2n1)xn1.错解 Sn13x5x2(2n1)xn1，xSnx3x25x3(2x1)xn，两式相减得(1x)Sn12x(1xxn2)(2n1)xn1(2n1)xn2x1xn11x，Sn2n1xn12n1xn1xx12.辨析 在等比数列an中，若公比 q1，则 Snna1，若q1，则 Sna11qn1q，因此在解含参数的等比数列求和问题时，一定要注意其公比是什么，能否取到 1.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 正解(1)当 x1 时，Sn135(2n1)n2，Snn2.(2)当 x1 时，Sn13x5x2(2n1)xn1，xSnx3x25x3(2n1)xn，相减得(1x)Sn12x(1xx2xn2)(2n1)xn1(2n1)xn2x1xn11x，Sn2n1xn12n1xn1xx12.第二章 2.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课 时 作 业（点此链接）
