1、第三章 导数及其应用33.3 导数的实际应用第三章 导数及其应用 1.了解导数应用的广泛性 2.理解利用导数解决优化问题的步骤 3.会用导数解决某些实际问题栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1优化问题生活中经常遇到求_、_、_等问题，这些问题通常称为优化问题2用导数解决优化问题的基本思路是利润最大用料最省效率最高栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1电动自行车的耗电量 y 与速度 x 有如下关系：y13x3392 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为()A30 B35C40 D45解析：选 C.yx239x40
2、0，解得 x40 或1(舍)，所以最佳速度为 40.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用2做一个容积为 256 dm3 的方底无盖水箱，它的高为_dm 时最省料栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解析：设底面边长为 x，则高为 h256x2，其表面积为 Sx24256x2 xx22564x，S2x2564x2，令 S0，则 x8，则高 h25664 4(dm)答案：4栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 面积、体(容)积有关的最值 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目
3、(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用【解】设广告的高和宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为(x20)cm，y252cm，其中 x20，y25.两栏面积之和为 2(x20)y25218 000，由此得 y18 000 x2025.广告的面积 S(x)xyx18 000 x2025 18 000 xx20 25x，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章
4、导数及其应用S(x)18 000（x20）x（x20）225 360 000（x20）225.令 S(x)0 得 x140，令 S(x)0 得 20 x140.所以函数在(140，)上单调递增，在(20，140)上单调递减，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用所以 S(x)的最小值为 S(140)当 x140 时，y175.即当 x140，y175 时，S(x)取得最小值 24 500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解决面积、容积的最值问题的方法解决
5、面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值 注意(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 如图，四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园 PQC
6、N，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解：以 M 为原点，AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 D(4，2)设抛物线方程为 y22px.因为点 D 在抛物线上，所以 228p，解得 p12.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用所以抛物线方程为 y2x(0 x4)设 P(y2，y)(0y2)是曲线 MD 上任一点，则|PQ|2y，|PN|4y2.所以矩形游乐园的面积为 S|PQ|PN|(2y)(4y2)8y32y24y.S3y24y4，令 S0，得 3y24y40，栏目导引
7、探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解得 y23或 y2(舍去)当 y0，23 时，S0，函数 S 为增函数；当 y23，2 时，S0，函数 S 为减函数 所以当 y23时，S 有最大值，得|PQ|2y22383，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用|PN|4y24232329.所以游乐园最大面积为 Smax83329 25627(km2)，即游乐园的两邻边分别为83 km，329 km 时面积最大，最大面积为25627 km2.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 用料(费用)最省问题 某网球中心欲
8、建连成片的网球场数块，用 128 万元购买土地 10 000 平方米，该中心每块球场的建设面积为 1 000 平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场 x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用 f(x)800115ln x 来刻画为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用【解】设建成 x 个球场，则 1x10，每平方米的购地费用为1281041 000 x 1 280 x元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用
9、 f(x)800115ln x 来表示，所以每平方米的综合费用为 g(x)f(x)1 280 x800160ln x1 280 x(x0)，所以 g(x)160（x8）x2(x0)，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用令 g(x)0，则 x8，当 0 x8 时，g(x)8 时，g(x)0，所以 x8 时，函数取得极小值，且为最小值 故当建成 8 个球场时，每平方米的综合费用最省栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值根据 f(x)0 求出极值
10、点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 已知 A，B 两地相距 200 km，一只船从 A地逆水行驶到 B 地，水速为 8 km/h，船在静水中的速度为 v km/h(8vv0)若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当 v12 km/h 时，每小时的燃料费为 720 元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解：设每小时的燃料费为 y1，比例系数为 k(k0)，则 y
11、1kv2，当 v12 时，y1720，所以 720k122，得 k5.设全程燃料费为 y 元，由题意得 yy1 200v81 000v2v8，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用所以 y2 000v（v8）1 000v2（v8）2 1 000v216 000v（v8）2.令 y0，得 v16，所以当 v016，即 v16 km/h 时全程燃料费最省，ymin32 000(元)；栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用当 v016，即 v(8，v0时，y0，即 y 在(8，v0上为减函数，所以当 vv0 时，ymin1 000v20
12、v08(元)综上，当 v016 时，即 v16 km/h 时全程燃料费最省，为 32 000 元；当 v016，即 vv0 时全程燃料费最省，为1 000v20v08 元栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 利润最大(成本最低)问题 某造船公司年最高造船量是 20 艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)3 700 x45x210 x3(单位：万元)，成本函数为 C(x)460 x5 000(单位：万元)求：(1)利润函数 P(x)(提示：利润产值成本)的解析式；(2)年造船量为多少艘时，可使造船公司的年利润最大？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自
13、主学习第三章 导数及其应用【解】(1)P(x)R(x)C(x)10 x345x23 240 x5 000(xN 且 x1，20)(2)P(x)30 x290 x3 240 30(x9)(x12)(xN 且 x1，20)，当 1x12 时，P(x)0，P(x)单调递增；当 12x20 时，P(x)0，P(x)单调递减；所以 x12 时，P(x)取最大值，即年造船量为 12 艘时，造船公司的年利润最大栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利
14、用导数来分析、研究、指导生产活动(2)关于利润问题常用的两个等量关系利润收入成本；利润每件产品的利润销售件数 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 某汽车制造厂有一条价值为 60 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值已知投入 x 万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为(60 x)x2 万元，并且技改投入比率x60 x(0，5(1)求技改投入 x 的取值范围；(2)当技改投入为多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值为多少万元？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解：(1)由题意，x6
15、0 x(0，5，x0，所以 0 x50，所以技改投入 x 的取值范围是(0，50(2)设 f(x)(60 x)x2，x(0，50，则 f(x)3x(x40)，0 x40 时，f(x)0；40 x50 时，f(x)0，所以 x40 时，函数取得极大值，也是最大值，即最大值为 32 000 万元栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解应用题的思路和方法解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去
16、，其思路如下：栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1应用题主要考查阅读理解能力，通过审题获取有用的信息，再进行分析、抽象、转化，建立数学模型，进而解决问题故审题不仔细，题意理解不透彻是解答这类题目出错的主要原因 2应用题的运
17、算求解错误也是常见的，尤其对实际问题中自变量的取值范围，函数表达式的实际意义考虑不全面，很易丢分栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：)为 f(x)13x3x28(0 x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.203C1 D8栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解析：选 C.原油温度的瞬时变化率为 f(x)x22x(x1)21(0 x5)，所以当 x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提
18、升预习案自主学习第三章 导数及其应用2某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数：y117x2(x0)；生产成本 y2(万元)是产量 x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，则应生产()A6 千台B7 千台C8 千台D9 千台栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解析：选 A.设利润为 y(万元)，则 yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，所以 y6x236x6x(x6)令 y0，解得 x0 或 x6，经检验知 x6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点故选 A.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用3把长 60 cm 的铁丝围成矩形，当长为_cm，宽为_cm 时，矩形面积最大解析：设长为 x cm，则宽为(30 x)cm，所以面积 Sx(30 x)x230 x.由 S2x300，得 x15.答案：15 15栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
