1、科目：数学(试题卷)注意事项：1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不留痕迹；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3本试卷共 4 页如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负4考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回姓名准考证号祝 你 考 试 顺 利！数学试题第 1 页(共 4 页)2022 年常德市高三年级模拟考试数学一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合2
2、2|1,20AxZ xBx xmx，若1AB，则 AB A 1,0,1B|11xx C 1,0,1,2D|12xx 2.若复数 z 满足(1 i)2iz，则复数 z 在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.设nS 为等比数列na的前 n 项和，若44a，322SS，则1a A 12B1C2D 24.已知直线 1:430laxy，2:10lxay，则“2a”是“12/ll”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5.函数sin()()xxxf xee的图象大致是ABCD6.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦点 F 到渐近线的距离
3、等于双曲线的实轴长，则双曲线C 的离心率为A5B2C72D527.已知(,)2，2cos24sinsin，则 tan A33B24C3D 2 2xOyxOyxOyxOy数学试题第 2 页(共 4 页)8.将甲、乙、丙、丁 4 名医生随机派往，三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派 1 名医生，A 表示事件“医生甲派往村庄”；B 表示事件“医生乙派往村庄”；C 表示事件“医生乙派往村庄”，则A事件 A 与 B 相互独立B事件 A 与 C 相互独立C5(|)12P B A D5(|)12P C A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
4、部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知函数()2sin(2)3f xx，则A函数()f x 的周期为B函数()f x 的图象关于原点对称C()f x 的最大值为 2D函数()f x 在区间(0,)2上单调递增10.下列不等式一定成立的是A1.11.1log 1.3log 1.2B1.31.20.70.7C12xxD22114sincosxx11.已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到准线l 的距离为 2，则A焦点 F 的坐标为(1,0)B过点(1,0)A 恰有 2 条直线与抛物线C 有且只有一个公共点C直线10 xy 与抛物线C 相交所得弦长为 8D
5、抛物线C 与圆225xy交于,M N 两点，则4MN 12.如图所示，三棱锥 PABC中，ACBC,1ACBCPC，D 为线段 AB 上的动点(D 不与,A B 重合)，且 ADPD,则A PACDB45DPCC存在点 D，使得 PABCD三棱锥 PBCD的体积有最大值224三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知平面向量a/b，a(1,2)，b(3,)t，则|b _.14.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为_.（附：若随机变量 服从正态分布2(,)N ，则()0.6827P，(22)
6、0.9545P）15.已知,A B C D 是球O 的球面上的四点，BD 为球O 的直径，球O 的表面积为16，且 ABBC，2ABBC，则直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值是_.16.设函数()(1)(2)f xx xxm的两个极值点为12,x x，若12()()0f xf x，则实数 m 的取值范围是_.数学试题第 3 页(共 4 页)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)如图，ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 22 cosacbC()求角 B 的大小；()已知3b，若 D 为ABC外接圆劣
7、弧 AC 上一点，求 ADDC的最大值18(本小题满分 12 分)设各项非负的数列 na的前 n 项和为nS，已知212nnSan*()nN，且235,a a a 成等比数列()求 na的通项公式；()若12 nnnaab，数列 nb的前 n 项和nT.19(本小题满分 12 分)为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区 10 万人中随机抽取了 200 人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按0,20，20,40，40,60，60,80，80,100 分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示.同时发现这 200 人中有 120 人在体内产生了抗体，其中
8、该项指标值不小于 60 的有 80 人.()填写下面的 22 列联表，判断是否有 95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于 60 有关”.()以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取 4 人，求产生抗体的人数 X 的分布列及期望.附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中 nabcd.P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828指标值小于 60指标值不小于 60合计有抗体没有抗体合计数学试题第 4
9、页(共 4 页)20(本小题满分 12 分)如图，三棱柱111ABCA B C的底面是等边三角形，平面11ABB A 平面 ABC，1A BAB，2AC，160A AB，O 为 AC 的中点.()求证：AC 平面1A BO；()试问线段1CC 是否存在点 P，使得二面角1POBA的平面角的余弦值为 2 77，若存在，请计算1CPCC的值；若不存在，请说明理由.21(本小题满分 12 分)已知00(,0),(0,)M xNy两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且|3MN，若动点G 满足2NGGM，设动点G 的轨迹为曲线 E()求曲线 E 的方程；()过点G 作直线 MN 的垂线l，交曲线 E 于
10、点 P(异于点G)，求 PMN面积的最大值22(本小题满分 12 分)已知函数ln()()lnaxf xexx（2.71828.e 是自然对数底数）.()当ae时，讨论函数()f x 的单调性；()当ae时，证明：()(1)f xae.数学参考答案第 1 页(共 6 页)2022 年常德市高三年级模拟考试数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.三、填空题
11、：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分133 5140.13591563161 1(,1)(,)4 2 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分 10 分)解：()法一：22 cosacbC,由正弦定理得：2sin()sin2sinsinBCCBC.2 分2(sincossincos)sin2sinsinBCCBCBCsin0C,1cos2B,又0B,3B.5 分法二：22 cosacbC，由余弦定理得：22222222222abcacbaacabcab,222acbac.3 分2221cos22acbBac0B3B.5 分()由()知
12、，3B，而四边形 ABCD 内角互补，则23ADC，法一：设DAC,则3DCA,由正弦定理得：题号12345678答案CDAACABD题号9101112答案ACADACDABD数学参考答案第 2 页(共 6 页)2 32sinsin()sin33ADDCAC.7 分2 3sin(),2 3sin3ADDC，2 3sin()2 3sin3ADDC，=3cos3sin2 3sin2 33（）当且仅当3ADDC时，ADDC的最大值为 2 3.10 分法二：在 ADC中，23ADC，3AC，由余弦定理得：22222cos 3ACADDCAD DC.7 分22()()994ADDCADDCAD DC2
13、3ADDC,当且仅当3ADDC时，ADDC的最大值为 2 3.10 分18.(本小题满分 12 分)解：()当1n 时，21221aa.1 分当2n 时，212nnSan，212(1)nnSan.得22121nnnaaa，即222121(1)nnnnaaaa 10,1nnnaaa.3 分数列 na从第 2 项起是公差为 1 的等差数列22(2)naann.4 分又235,a a a 成等比数列，2325aa a，即2222(1)(3)aa a解得21a ，121(2)nannn 21221aa，10a，适合上式数列 na的通项公式为1nan.6 分()12nnnb.7 分数列 nb的前 n 项
14、的和为01221123122222nnnnnT数学参考答案第 3 页(共 6 页)123111231222222nnnnnT得2111111+22222nnnnT.9 分111()122221222212nnnnnnnn1242nnnT.12 分19.(本小题满分 12 分)解：()由频率分布直方图可知，样本中指标值不小于 60 的人数为(0.0250.005)20 200120标值小于 60 的人数为 80.1 分22 列联表如下：.3 分22200(80 4040 40)505.5563.84180 120 80 1209K所以有 95%的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于 6
15、0 有关”.5 分()注射疫苗后产生抗体的概率1203=2005p.6 分由题可知，3(4,)5X B4432()()()(0,1,2,3,4)55kkkP XkCkX 的分布列为：.10 分3()42.45E Xnp.12 分指标值小于 60指标值不小于 60合计有抗体4080120没有抗体404080合计80120200X01234P816252166252166259662516625数学参考答案第 4 页(共 6 页)20.(本小题满分 12 分)解：()证明：因为 ABC是等边三角形，O 为 AC 的中点，ACOB.1 分又平面11ABB A 平面 ABC，平面11ABB A 平面
16、ABCAB，1A BAB1A B 面 ABC.3 分又 AC 面 ABC，1A BAC又 ACOB，1A BOBB，AC 平面1A BO.5 分()解：存在线段1CC 的中点 P 满足题意.6 分证明：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,0),(0,3,0),C(1,0,0)OB，1(1,0,0),(0,3,2 3)AA.7 分设11(,3,2 3)CPtCCt AAttt 则(1,3,2 3)OPOCCPttt ，而平面1AOB 的法向量为(1,0,0)n，设平面 POB 的法向量为(,)mx y z，00m OBm OP ，得0(1)32 30yt xtytz ，不
17、妨设1x，则可取1(1,0,)2 3tmt.10 分|2 7|cos,|7n mn mn m ，2212 77(1)112tt，解得：12t 此时112CPCC，所以存在点 P 满足题意，且112CPCC.12 分21.(本小题满分 12 分)解：()设(,)G x y，则00(,),(,)NGx yyGMxxy2NGGM，002()2xxxyyy ，解得00323xxyy.2 分又|3MN，22009xy.3 分229994xy，即2214xy曲线 E 的方程为2214xy.5 分数学参考答案第 5 页(共 6 页)()由题设直线l 垂线 MN 且与 E 交于G、P 两点，故直线l 的斜率存
18、在且不为 0设直线l：ykxt，1122(,),(,)G x yP xy联立2214ykxtxy，消 y 化简得222(41)84(1)0kxktxt2 222226416(41)(1)16(41)0k tktkt 212122284(1),4141kttxxx xkk.7 分22222121224 141|1(+)4=41kktGPkxxx xk.8 分由()知0101323xxyy，01012MNyykxx ，112xky直线l 过点G，11ykxt点G 在曲线 E 上，221144xy由得，22211222111441144xykyyy，即21211yk22221111111111112
19、6423222xyxytykxyyyyyy，即221214912tyy2229481tkk.10 分222222222994 14(48)14 111|4141kkkkkkkGPkk212|1212314114|2 4|kkkkkk当且仅当12k 时，等号成立；此时55t 119|3 3222PMNSMNGP 所以 PMN面积的最大值为 9.2.12 分数学参考答案第 6 页(共 6 页)22.(本小题满分 12 分)解：()由题可知函数()f x 的定义域为(0,)，ae时，ln()lnexf xexx，2ln()xexfxx.1 分令()lnh xxex，则1()0h xex，()h x单
20、调递减.2 分1()0h e.3 分当10 xe时，()0h x，()0fx；当1xe时，()0h x，()0fx；所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)e，单调递减区间为 1(,)e .5 分()证明：221ln1ln()axeaxexfxxxx，令()1 lnxaxex，则1()0 xex，()x单调递减.6 分1()10eaa，1()ln0aee.7 分01 1(,)xa e有0()0 x，即001ln0axex.8 分0(0,)xx 时，()0 x，()0fx，()f x 单调递增；0(,)xx 时，()0 x，()0fx，()f x 单调递减；所以函数()f x 在0 xx时有极大值，则000000ln1()()lnlnaxf xf xexeexxx.10 分函数1()lnr xexx在1 1(,)xa e单调递减，01()()lnr xraeeaa，要证()(1)f xae，即证ln(1)aeeaae，即证(1)ln0e aea.11 分令()(1)lnF ae aea，（ae），()120eF aeea，则()F a 单调递减，2()()(1)20F aF ee eeee，所以(1)ln0e aea成立，即()(1)f xae得证.12 分
