1、正态分布(15分钟30分)1设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()A.12，12 B12，12C12，12 D12，12【解析】选A.由正态分布曲线的图像知，X的正态分布曲线的对称轴小于Y的正态分布曲线的对称轴，即12；再由正态分布曲线的图像标准差越小，随机变量的取值越集中，图象越高瘦，标准差越大，随机变量的取值越分散，图象越矮胖，可得12.2已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2【解析】选C.如图，正态分布的概率密度函数图像关于直线x2对称，所以P(2)0.5，并且P(02)
2、P(24)，则P(02)P(4)P(2)0.80.50.3.3在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A2 386 B2 718 C3 415 D4 772附：若XN(，2)，则P(X)0.683，P(2X2)0.954.【解析】选C.由P(1X1)0.683，得P(00)()Af(x)e Bf(x)eCf(x)e Df(x)e(x)2【解析】选ACD.对于A，f(x)e，由于(，)，所以(，)，故它可以作为正态分布概率密度函数；对于B，若1，则应为f(x)e，若，则应为f(x)e，均与所给函数不相符，故它不
3、能作为正态分布概率密度函数；对于C，它是当，0时的正态分布概率密度函数；对于D，它是当时的正态分布概率密度函数6“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)e，x，则下列说法正确的是()A该地水稻的平均株高为100 cmB该地水稻株高的方差为10C随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大D随机测量
4、一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位： cm)的概率一样大【解析】选AC.fe，故100，2100，故A正确，B错误；PPP，故C正确；根据正态分布的对称性知：PPP，故D错误三、填空题(每小题5分，共10分)7经统计，某市高三学生期末数学成绩XN(85，2)，且P(80X90)0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是_【解析】因为数学成绩XN(85，2)，且P(80X90)0.3，所以P(X90)0.35.答案：0.358一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800内的概
5、率是_.【解析】由题知，10 000，400，所以P(9 200X10 800)P(10 0002400X10 0002400)0.954.答案：0.954四、解答题(每小题10分，共20分)9已知某地农民工月均收入X服从正态分布，其概率密度函数图像如图所示(1)写出此地农民工月均收入的概率密度函数的表达式(2)求此地农民工月均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比【解析】设农民工月均收入XN(，2)，结合题图可知，8 000，500.(1)此地农民工月均收入的正态分布的概率密度函数表达式为，(x)ee，x(，).(2)因为P(7 500X8 500)P(8 000500X8 00
6、0500)0.683，所以P(8 000X8 500)P(7 500X8 500)0.341 534.15%.即农民工月均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比约为34.15%.103D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径如表所示(单位：m).序号1234
7、5678910内径979798102105107108109113114(1)计算平均值与标准差；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(，2).该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：m)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？【解析】(1)(979798102105107108109113114)105，2(8)2(8)2(7)2(3)202223242829236，所以6.(2)需要进一步调试理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105，62)，则P(3Z3)P(87Z123)0.997，零件内
8、径在(87，123)之外的概率只有0.003，而86(87，123)，根据3原则，机器异常，需要进一步调试【补偿训练】 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？【解析】由于X服从正态分布N(4，0.052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4，0.052)在(430.05，430.05)之外的取值的概率只有0.003，3.7(3.85，4.15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的1(2021八省联考)对一
9、个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差nN，为使n在(0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量_次(若XN(，2)，则P(|X|2)0.954 5.【解析】由题意使n在(0.5，0.5)的概率不小于0.954 5可知，(2，2)(0.5，0.5)，且，0，则2，所以，解得n32.即至少要测量32次答案：322从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这
10、种产品的质量指标Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数利用的结果，求E(X).附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.683，P(2Z2)0.954.【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差s2分别为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200.s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，Z服从正态分布N(200，150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.683.由可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.683，依题意知XB(100，0.683)，所以E(X)1000.68368.3.
