1、43指数函数与对数函数的关系最新课程标准1.了解反函数的定义2了解指数函数与对数函数互为反函数新知初探自主学习突出基础性知识点一指数函数与对数函数的性质函数指数函数yax对数函数ylogax定义域_值域_单调性0a1时，为_状元随笔指数函数yax与对数函数ylogax，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同知识点二反函数一般地，函数yf(x)的反函数记作yf1(x)值得注意的是，yf(x)的定义域与yf1(x)的值域相同，yf(x)的值域与yf1(x)的定义域相同状元随笔1yf(x)与yf 1(x)的图像关于直线yx对称2如果yf(x)是单调函数，那么它的反函数yf 1(x)
2、一定存在此时，如果yf(x)是增函数，则yf 1(x)也是增函数；如果yf(x)是减函数，则yf 1(x)也是减函数 基础自测1.函数f(x)log4x与g(x)22x的图像()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称2若函数ylog2x2的反函数的定义域为(3，)，则此函数的定义域为_课堂探究素养提升强化创新性题型1求函数的反函数教材P31例2例1判断f(x)2x2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f1(x)的解析式，并在同一直角坐标系中作出f(x)与f1(x)的函数图像1判断函数是否单调2求出x.3推导出f 1(x)的解析式【解析】因为f(x
3、)2x2是增函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数令y2x2，对调其中的x和y得x2y2，解得y12x1，因此f1(x)12x1.f(x)与f1(x)的函数图像如图所示方法归纳求给定解析式的函数的反函数的步骤(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；(2)从yf(x)中解出x；(3)x，y互换并注明反函数的定义域跟踪训练1求下列函数的反函数(1)y2x3；(2)ylog23x；(3)y23x1；(4)y0.2x1(x1)1.函数在定义域内的值域2求x.3解出反函数题型2反函数性质的应用例2已知函数yaxb的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，
4、0)，求a，b的值函数与反函数图像上相应点关于yx对称方法归纳利用反函数的性质解题互为反函数的图像关于直线yx对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于yx对称，所以若点 (a，b)在函数yf(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数yf1(x)的图像上 跟踪训练2已知函数f(x)axb(a0且a1)的图像过点(1，7)，其反函数f1(x)的图像过点(4，0)，求f(x)的表达式两点关于yx对称题型3指数函数与对数函数图像间的关系例3已知lg alg b0，函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图像可能是()1由lg alg b0得ab1.2f(x)与y(x)互
5、为反函数方法归纳利用反函数的性质识图指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线yx对称，在有关指数函数与对数函数的图像知识问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题跟踪训练3ylog2x的反函数是yf1(x)，则函数yf1(1x)的图像是下图中的()状元随笔1.先求出f 1(x)2再求f 1(x)3最后求出f 1(1x)题型4指数函数与对数函数的综合应用例4(1)已知f(x)loga(aax)(a1)求函数f(x)的定义域、值域；判断f(x)的单调性，并证明；(2)设方程2xx30的根为m，方程log2xx30的根为n，求mn的值1先求定义域值域2判断函数单调性3利用反函数求
6、m、n.方法归纳指数函数与对数函数综合问题的解决方法(1)指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别(2)利用数形结合，等价转化的思想可较为简便地解决函数零点(方程的根)问题跟踪训练4已知0a3，即log2x1，x2.则此函数的定义域为(2，).答案：(2，)课堂探究素养提升跟踪训练1解析：(1)由y2x3得x12y32，所以函数y2x3的反函数是y12x32.(2)ylog23x的底数是23，它的反函数是指数函数y23x.(3)y23x1的值域是(1，)，所以它的反函数为函数ylog23(x1) (x1).
7、(4)因为y0.2x1，所以y10.2x，xlog0.2(y1)，即ylog0.2(x1)，因为函数y0.2x1(x1)的值域是y|y1.2，所以ylog0.2(x1)的定义域为x|x1.2，即函数y0.2x1(x1)的反函数是ylog0.2(x1)(x1.2).例2【解析】解法一：yaxb的图像过点(1，4)，ab4，由yaxb得axyb，xloga(yb)，交换x，y得yloga(xb)，将点(2，0)代入yloga(xb)得loga(2b)0，2b1.由解得a3，b1.解法二：yaxb的图像过点(1，4)，ab4.又yaxb的反函数图像过点(2，0)，点(0，2)在原函数yaxb的图像上
8、，a0b2.联立得a3，b1.跟踪训练2解析：yf1(x)的图像过点(4，0)，yf(x)的图像过点(0，4)，1b4，b3，又f(x)axb的图像过点(1，7)，ab7，a4.f(x)4x3.例3【解析】lg alg b0，ab1，则b1a，从而g(x)logbxlogax，故g(x)与f(x)ax互为反函数，图像关于直线yx对称结合选项可知选B.【答案】B跟踪训练3解析：ylog2x的反函数为yf1(x)2x，则yf1(1x)21x22x2(12)x，故排除A，B.又此函数图像过(0，2)，故正确答案为C.答案：C例4【解析】(1)要使函数f(x)loga(aax)(a1)有意义，需满足a
9、ax0，即ax1，x1，故定义域是(，1)，又aax(0，a)，所以值域是(，1).设x1x21，则ax1 ax2 a，f(x2)f(x1)loga(aax2)loga(aax1)logaaax2aax1 0，所以f(x1)f(x2)，所以函数f(x)为减函数(2)将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，m是指数函数y2x的图像与直线yx3交点A的横坐标，n是对数函数ylog2x的图像与直线yx3交点B的横坐标，由于函数y2x与ylog2x互为反函数，所以它们的图像关于直线yx对称，由题意可得出A，B两点也关于直线yx对称，于是可设A，B两点的坐标为A(m，n)，B(n，m)，而A、B都在直线yx3上，nm3(A点坐标代入)，或mn3(B点坐标代入)，故mn3.跟踪训练4解析：函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图像的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图像如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图像的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.答案：B
