1、4.1.2 圆的一般方程一、预习教材问题导入 根据以下提纲，预习教材P121P123，回答下列问题(1)方程x2y22x4y10表示什么图形？x2y22x4y60表示什么图形？提示：对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，它表示圆心为(1，2)，半径为2的圆；对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形(2)把x2y2DxEyF0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是表示圆？提示：得到的方程为xD22yE22D2E24F4.当D2E24F0时，该方程表示以D2，E2 为圆心，12D2E24F为半径的圆；当
2、D2E24F0时，方程只有实数解xD2，yE2，即只表示一个点D2，E2；当D2E24F0时才表示圆探究点一 圆的一般方程思考探究已知圆心(2,3)，半径为 2，其标准方程为(x2)2(y3)24.(1)上述方程能否化为二元二次方程的形式？名师指津：可以，x2y24x6y90.(2)方程x2y24x6y130是否表示圆？名师指津：配方化为(x2)2(y3)20，不表示圆(3)怎样理解圆的一般方程？名师指津：圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项对方程x2y2DxEyF0的说明：方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0D2，E2表示以D2，E2 为
3、圆心，以12 D 2E 24F为半径的圆典例精析若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解(1)据题意知，D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m15，故m的取值范围为，15.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r 15m.类题通法形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方
4、法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解针对训练1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程(1)不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，D2E24F2a20，方程(3)表示圆，它的圆心为a2，a2，半径r12D2E24F 22|a|.典例精析求过三点O(0,0)，M1(1,1)，
5、M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，F0，DEF20，4D2EF200，解得D8，E6，F0.所求圆的方程为x2y28x6y0，D24，E23，圆心为(4，3)，半径r12D2E24F5.类题通法 应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.针对训练2已知一圆的圆心为点A(
6、2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的一般方程是_解析：易知该圆过原点，则r|AO|13.故所求圆的方程是(x2)2(y3)213，化为一般方程是x2y24x6y0.答案：x2y24x6y03求经过两点A(4,2)，B(1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程解：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D；令x0，得y2EyF0，所以圆在y轴上的截距之和为y1y2E；由题设，x1x2y1y2(DE)2，所以DE2.又A(4,2)，B(1,3)两点在圆上，所以1644D2EF0，19D3EF0，由可得D2，E0
7、，F12，故所求圆的方程为x2y22x120.探究点二 轨迹问题典例精析已知直角ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程思路点拨(1)设出C点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为1列出方程，注意A、B、C三点不能共线；(2)设出M点坐标，利用中点关系，建立M点与C点坐标之间的关系，求出轨迹方程解(1)法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3，且x1.又kAC yx1，kBC yx3，且kACkBC1，所以 yx1 yx31，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30
8、(x3，且x1)法二：同法一得x3，且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1)法三：设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|12|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3，且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得xx03
9、2(x3，且x1)，yy002，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3，且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3，且x1)类题通法 用代入法求轨迹方程的一般步骤针对训练4已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)2x2 x0，0y2 y0.|AD|3，(x02)2y209.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x
10、轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)课堂归纳领悟1本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法，见探究点一(2)应用待定系数法求圆的方程的方法，见探究点二(3)代入法求轨迹方程的一般步骤，见探究点三3本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件，如探究点一 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十三)”(单击进入电子文档)谢 观 看THANK YOU FOR WATCHING谢
