1、加练课6 抛物线焦点弦的性质及应用学习目标1.会推导抛物线焦点弦的性质.2.掌握抛物线焦点弦性质的简单应用.自主学习知识拓展知识拓展抛物线y2=2px(p0) ,设AB是过抛物线焦点的一条弦（焦点弦）,F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20) ,A ,B在准线上的射影分别为A1,B1 .则：（1）x1x2=p24,y1y2=-p2;（2）若直线AB的倾斜角为 ,则|AF|=p1-cos,|BF|=p1+cos,|AB|=x1+x2+p=2psin2 ,抛物线的通径长为2p ,通径是最短的焦点弦;（3）1|AF|+1|BF|=2p ;（4）若直线AB的倾斜角为 ,则
2、SOAB=p22sin；（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;（6）A ,O ,B1三点共线,B ,O ,A1三点也共线.推导过程（1）当ABx轴时,不妨设A(p2,p) ,则B(p2,-p) ,y1y2=-p2,x1x2=p24 .当直线AB的斜率存在时,设斜率为k(k0) ,则直线AB的方程为y=k(x-p2) ,代入抛物线方程y2=2px ,消元得y2=2p(yk+p2),即y2-2pyk-p2=0,y1y2=-p2,x1x2=p24 .（2）当90时,过点A作AGx轴,交x轴于点G ,设准线与x轴的交点为G1 ,如图.由抛物线的定义知|AF|=|AA1|,在RtAFG中,|FG|=
3、|AF|cos,由图知|GG1|=|AA1|,则p+|AF|cos=|AF| ,则|AF|=p1-cos ,同理得|BF|=p1+cos ;当=90时,可知|AF|=|BF|=p ,对于|AF|=p1-cos，|BF|=p1+cos亦成立.|AF|=p1-cos,|BF|=p1+cos .|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=p1-cos+p1+cos=2psin22p ,当且仅当=90时取等号.故通径长2p为最短的焦点弦长（3）由（2）可得,1|AF|+1|BF|=1-cosp+1+cosp=2p .（4）当90时,设直线AB：y=tan(x-p2) ,原点O到直线AB的距离d=|p
4、2tan|1+tan2=p2sin ,SOAB=d2|AB|=p4sin2psin2=p22sin;当=90时,SOAB=122pp2=p22,满足SOAB=p22sin .SOAB=p22sin .（5）如图,M的直径为AB ,过圆心M作MM1垂直准线于M1 ,则|MM1|=|AA1|+|BB1|2=|AF|+|BF|2=|AB|2 ,故以AB为直径的圆与准线相切（6）设直线AB的方程为x=my+p2，代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0 .由（1）可得y1y2=-p2 .BB1x轴,B1(-p2,y2),即B1(-p2,-p2y1) ,kOB1=-p2y1-p2=2py1=y12x1
5、1y1=y1x1=kOA,OB1OA且公共点为O,直线AB1过点O ,A,O,B1三点共线,同理得B,O,A1三点也共线互动探究关键能力类型一 x1x2=p24 ,y1y2=-p2的应用例（2021山东济南高二检测）已知抛物线C的顶点是原点O ,焦点F在x轴正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A ,B两点,若OAOB=-12 ,则抛物线C的方程为( )A.x2=8y B.x2=4yC.y2=8x D.y2=4x答案：C解析：设抛物线的方程为y2=2px(p0) ,直线AB：x=my+p2,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=p24,y1y2=-p2,即OAOB=x1x2+y1y2
6、=p24-p2=-34p2=-12,则p=4（负值舍去）,即抛物线C的方程为y2=8x ,故选C.解题感悟该种类型的题目通过抛物线的特殊性质,脱离传统的联立方程求解,迅速得到结果,体现了模式化的认识特征,将特殊的概念、结论广泛、抽象地应用于数学题目中.迁移应用1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2= ( )A.-4B.4C.4p D.-4p答案：A解析：设直线AB的方程为my=x-p2,则x1x2=p24,y1y2=-p2,所以y1y2x1x2=-p2p24=-4 .类型二 |AB|=x1+x2+p=2ps
7、in2的应用例过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A（x1,y1）,B（x2,y2） ,若|AB|=7 ,则AB的中点M到抛物线准线的距离为 .答案：72解析：抛物线的焦点为F（1,0） ,准线方程为x=-1 .由抛物线焦点弦的性质知|AB|=|AF|+|BF=x1+x2+p ,即x1+x2+2=7 ,得x1+x2=5 ,所以AB的中点M的横坐标为52 ,因为准线方程为x=-1 ,所以点M到抛物线准线的距离为52+1=72 .解题感悟通过抛物线弦长公式结论的拓展将复杂的面积问题抽象为长度、距离问题,体现了数学抽象的核心素养.迁移应用1.（2020山东聊城高二检测）已知抛物线C:x=14y
8、2的焦点为F ,过焦点F且倾斜角为45的直线l与抛物线C相交于A ,B两点,则|AB|= ( )A.102 B.10C.9D.8答案：D解析：抛物线C:x=14y2,即y2=4x,2p=4 ,|AB|=2psin245=8,故选D.类型三1|AF|+1|BF|=2p的应用例过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF| ,则|AB|等于( )A.4B.92 C.5D.6答案：B解析：易知p=2 ,因为|AF|=2|BF| ,所以1|AF|+1|BF|=12|BF|+1|BF|=32|BF|=2p=1 ,所以|BF|=32 ,所以|AF|=3 ,故|AB|=|A
9、F|+|BF|=92 .解题感悟该题将弦长问题通过焦半径与p之间的关系转化为焦半径问题,简化了运算,但此类问题的解决都是以x1x2=p24,y1y2=-p2为基础的,所以牢记x1x2=p24,y1y2=-p2是灵活应用焦点弦性质的基础.迁移应用1.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交准线l于点C ,若F是AC的中点,且|AF|=4 ,则线段AB的长为( )A.5B.6C.163 D.203答案：C解析：如图,过A作准线的垂线,垂足为D ,则|AD|=|AF|=12|AC|=4,|OF|=p2=|AD|4=1 ,所以p=2 ,因为1|AF|+1|BF|=2p,
10、|AF|=4 ,所以|BF|=43 ,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=163 .类型四SOAB=p22sin的应用例设F为抛物线C：y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为( )A.334 B.938 C.6332 D.94答案：D解析：由抛物线焦点的性质得SOAB=p22sin=942sin30=94 .解题感悟解决这类问题可以直接利用焦点弦的性质求解,把抛物线中焦点三角形的面积利用直线的倾斜角和焦点到准线的距离p表示,这种方法更方便快捷.迁移应用1.经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F ,且倾斜角为60的直线l与抛物线C交于A,B两点,若三角形OAB的面积为33 ,则抛物线C的方程为 .答案：y2=6x解析：由抛物线焦点弦的性质可得SOAB=p22sin=p22sin60=p23=33 ,解得p=3 ,所以抛物线C的方程为y2=6x .
