1、5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时 两角差的余弦公式课标解读课标要求素养要求1.了解两角差的余弦公式的推导过程,知道两角差的余弦公式的意义.2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.数学运算会运用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.自主学习必备知识教材研习教材原句对于任意角 ， 有 cos(-)=coscos+sinsin(C(-) .此公式给出了任意角 ， 的正弦、余弦与其差角- 的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作C(-) .自主思考1.利用差角的余弦公式求cos15 的值.答案：提示cos15=cos(45-30)=cos45cos3
2、0+sin45sin30=6+24 .名师点睛1.两角差的余弦公式不要记为cos(-)=cos-cos 或cos(-)=coscos-sinsin ;同时还要注意公式的适用条件是 ， 为任意角.2.应用两角差的余弦公式时,要明确公式的特点：公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.互动探究关键能力探究点一 给角求值精讲精练例 求值：（1）cos1312 ;（2）sin46cos14+sin44cos76;（3）cos512cos6+cos12sin6 ;（4）12cos15+32sin15 .答案：（1）原式=cos(+12)=-c
3、os12=-cos(4-6)=-cos4cos6-sin4sin6=-2232-2212=-6+24 .（2）原式=sin(90-44)cos14+sin44cos(90-14)=cos44cos14+sin44sin14=cos(44-14)=cos30=32 .（3）原式=cos512cos6+cos(2-512)sin6=cos512cos6+sin512sin6=cos(512-6)=cos4=22 .（4）原式=cos60cos15+sin60sin15=cos(60-15)=cos45=22 .解题感悟解含非特殊角的三角函数式的求值问题,可把非特殊角转化为特殊角的和或差,用公式直接
4、求值.在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.迁移应用1.求值：（1）cos(-375) ；（2）cos75cos15-sin75sin195 ；（3）cos(+21)cos(-24)+sin(+21)sin(-24) .答案：（1）原式=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=2232+2212=6+24 .（2）原式=cos75cos15-sin75sin(180+15)=cos75cos15+sin75sin15=cos(75-15)=cos60=12 .（3）原式=cos(+21)-(-24)=cos45=
5、22 .探究点二 给值求值精讲精练例 （1）已知sin(3+)=1213 ,(6,23) ,求cos 的值;（2）已知sin(3-)=-1213 ,(6,56) ,求cos(-12) 的值.答案：（1）因为(6,23) ,所以3+(2,) ,所以cos(3+)=-1-sin2(3+)=-1-(1213)2=-513 .因为=(3+)-3 ,所以cos=cos(3+)-3=cos(3+)cos3+sin(3+)sin3=-51312+121332=123-526 .（2）因为656 ,所以-23-6 ,又sin(3-)=-12130 ,所以-23-0 ,所以cos(3-)=1-sin2(3-)=
6、513 ,所以cos(-12)=cos(12-)=cos(3-)-4=cos(3-)cos4+sin(3-)sin4=51322+(-1213)22=-7226 .解题感悟已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系,在解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：=（-）+ ；=+2+-2 ；2=（+）+（-） ；2=（+）-（-） .迁移应用1.已知sin(+4)=-13 ，(54,74) ,求cos 的值.答案：因为(54,74) ,所以+4(32,2) ,所以cos(+4)=1-sin2(+4)=1-(-13)2=223 ,
7、所以cos=cos(+4)-4=cos(+4)cos4+sin(+4)sin4=22322+(-13)22=4-26 .探究点三 给值求角精讲精练例 已知sin(-)=437 ，cos(-)=1314 ，02 ,求角 的大小.答案：因为sin(-)=437 ,所以sin=437 .因为02 ,所以cos=1-sin2=17 .因为cos(-)=1314 ,且02 ,所以0-2 ,所以sin(-)=1-cos2(-)=3314 ,所以cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=171314+4373314=12 .因为02 ,所以=3 .解题感悟已知三角函数值求角的解题步骤（
8、1）根据条件确定所求角的范围;（2）求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数;（3）结合三角函数值及角的范围求角.迁移应用1.已知cos(-)=-35 ，cos(+)=35 ,且-(2,) ，+(32,2) ,求角 的大小.答案：由-(2,) ，cos(-)=-35 ,可知sin(-)=45 .因为+(32,2) ，cos(+)=35 ,所以sin(+)=-45 ,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=35(-35)+(-45)45=-1 .因为-(2,) ，+(32,2) ,所以2(2,32) ,所以2= ,故=2 .评
9、价检测素养提升1.cos20 等于( )A.cos30cos10-sin30sin10B.cos30cos10+sin30sin10C.sin30cos10-sin10cos30D.sin30cos10+sin10cos30答案：B2.若sinsin=1 ,则cos(-) 的值为( )A.0B.1C.1 D.-1答案：B3.（2020湖南益阳箴言中学高一检测）已知 为锐角, 为第三象限角,且cos=1213 ,sin=-35 ,则cos(-) 的值为( )A.-6365 B.-3365C.6365 D.3365答案：A解析：因为 为锐角,cos=1213 ,所以sin=1-cos2=513 ,因为 为第三象限角,sin=-35 ,所以cos=-1-sin2=-45 ,所以cos(-)=coscos+sinsin=1213(-45)+513(-35)=-6365 .4.化简：cos(-55)cos(+5)+sin(-55)sin(+5)= .答案：12解析：原式=cos(-55)-(+5)=cos(-60)=12 .
