1、4.4.3 不同函数增长的差异课标解读课标要求素养要求1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.会分析具体的实际问题,通过建模解决实际问题.1.逻辑推理能从几类特殊函数中分析出一般函数的增长特点.2.数学建模能通过比较几种不同类型的函数模型的增长特点进行决策,进而解决实际问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 指数函数与一次函数增长的差异一般的，指数函数y=ax(a1) 与一次函数y=kx(k0) ，即使k 的值远远大于a 的值，y=ax(a1) 的 增长速度 最终都会大大超过y=kx(k0) 的 增长速度 .要点二 对数函数与一次函数增长的差异一般的，虽然对数函数y=lo
2、gax(a1) 与一次函数y=kx(k0) 在区间(0,+) 上都单调 递增 ，但它们的 增长速度 不同.随着x 的增大，一次函数y=kx(k0) 保持 固定 的增长速度，而对数函数y=logax(a1) 的增长速度 越来越慢 .无论a 的值比k 的值大多少，在一定范围内，logax 可能会 大于 kx ，但由于logax 的增长最终会 慢于 kx 的增长，因此总会存在一个x0 ，当xx0 时，恒有 logax0 ，都有kx0 ,且a1 ），该说法是否正确？答案：提示 错误。名师点睛指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0,+) 上，尽管函数y=ax(a1),y=logax(a1
3、) 和y=xn(n0) 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y=ax(a1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0) 的增长速度，而y=logax(a1) 的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0 ，使得当xx0 时，恒有logaxxnax(a1,n0).互动探究关键能力探究点一 几种函数模型增长的差异精讲精练例 甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i=1,2,3,4) 关于时间x(x0) 的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1) ，有以
4、下结论：当x1 时，甲走在最前面;当x1 时，乙走在最前面;当0x1 时，丁走在最前面，当x1 时，丁走在最后面;丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面;如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲其中正确结论的序号为 .答案： 解析： 在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象（图略），易得错误：因为f1(2)=22-1=3,f2(2)=22=4, 所以f1(2)f2(2) ，所以当x=2 时，乙在甲的前面.错误：因为f1(5)=25-1=31,f2(5)=52=25, 所以f1(5)f2(5) ，所以当x=5 时，甲在乙的前面.正确：当0x1 时，f1(x),f2(x) 的图象在f3(x
5、) 图象的下方，f4(x) 的图象在f3(x) 图象的上方，即丁走在最前面;当x1 时，f4(x) 的图象在最下方，即丁走在最后面.正确：当0x1 时，丙在甲、乙前面，在丁后面;当x1 时，丙在丁前面，在甲、乙后面;当x=1 时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.正确：当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快,f1(x) 的图象必定在f2(x)、f3(x)、f4(x) 图象的上方，所以最终走在最前面的是甲综上，正确结论的序号为.解题感悟常见的函数模型及增长特点（1）一次函数模型：一次函数模型ykx+b(k0) 的增长特点是直线上升，其增长速度不变（2）指数函数模型：指数函数模型yax(a1) 的增长
6、特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被称为“指数爆炸”（3）对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1) 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓迁移应用1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A.y=6x B.y=log6xC.y=x2 D.y=6x答案：B2.四个变量y1,y2,y3,y4 随变量x 变化的情况如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.322
7、6.6446.907其中，关于x 呈指数函数变化的变量是 .答案： y2解析：以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.探究点二 不同函数模型的图象及其应用精讲精练例 函数f(x)=2x 和g(x)=x3 的图象如图所示设两个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2) ,且x1x2 .（1）请指出图中曲线C1,C2 分别对应的函数;（2）结合函数图象，判断f(6),g(6),f(2020),g(2020) 的大小答案：（1）当x 充分大时，位于上方的图象对应的函数是指数函数f(x)=2x ，另一个函数就是幂函数g(x)=x3 ， 曲线C1 对应的函数为g(x)=x3 ，曲线C2 对应的函数
8、为f(x)=2x .（2）f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(9),f(10)g(10) ，1x12,9x210.x16x22020 .从图象上可以看出，当x1xx2 时,f(x)g(x),f(6)g(6) .当xx2 时，f(x)g(x),f(2020)g(2020) .又g(2020)g(6) ，f(2020)g(2020)g(6)f(6) .解题感悟由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长速度不变的函数是
9、一次函数迁移应用1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=(116)t-a （a 为常数），如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ;（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过 小时后，学生才能回到教室答案：（1）y=10t,0t110(116)t-110,t110（2）0.6解析：（1）由题
10、图可知，当0t110 时，y=10t ;当t110 时，由1=(116)0.1-a ，得a=110 ，则当t110 时，y=(116)t-110 .故y=10t,0t110，(116)t-110,t110.（2）由题意可知，(116)t-1100.25 ，得t0.6 .即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室.评价检测素养提升 1.下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )A.y=50B.y=1000xC.y=0.42x-1D.y=11000ex答案：D2.测得(x,y) 的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型：甲：y=x2+1 ，乙：y=3x-1 ，若又测得(x
11、,y) 的一组对应值为（3，10.2），则应选用 （选填“甲”或“乙”）作为函数模型.答案： 甲3.函数y=x2 与函数y=xlnx 在区间(1,+) 上增长速度较快的是 .答案： y=x24.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1 的图象如图所示.（1）指出曲线C1,C2 分别对应哪一个函数;（2）比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对f(x),g(x) 的大小进行比较）.答案：（1）由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1 对应的函数为g(x)=0.3x-1 ，曲线C2 对应的函数为f(x)=lgx .（2）当x(0,x1) 时，g(x)f(x) ;当x(x1,x2) 时，g(x)f(x) ;当x(x2,+) 时，g(x)f(x) .g(x) 呈直线增长，其增长速度不变，f(x) 随着x 的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢.
