1、第2课时 集合的表示法课标解读课标要求素养要求针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.1.数学抽象能够用简洁的语言准确地表述出研究对象.2.数学运算能够进行描述法与列举法之间的转化.自主学习必备知识教材原句 要点一 列举法把集合的所有元素 一一列举 出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法.要点二 描述法一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有 共同 特征P(x) 的元素x 所组成的集合表示为xAP(x) ，这种表示集合的方法称为描述法.自主思考1.分析列举法的优点与缺点各有哪些?答案：提示 优点：集合中的元素一目了然，适合表示
2、元素较少的集合.缺点：不易看出元素所具有的特征，有的集合不能用列举法表示.2.描述法的特点有哪些?答案：提示 运算的规律 与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.名师点睛1.使用列举法表示集合的四个注意点（1）元素间用“，”分隔开，其一般形式为a1,a2,an ；（2）元素不重复，满足元素的互异性；（3）元素无顺序，满足元素的无序性；（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.2.用描述法表示集合时的三个注意点（1）用
3、描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.互动探究关键能力探究点一 列举法的应用精讲精练 例 用列举法表示下列集合：（1）方程x2=x 的所有实数解组成的集合；（2）直线y=2x+2021 与y 轴的交点所组成的集合；（3）不大于8的正整数构成的集合；（4）15的正约数组成的集合.答案：（1）方程x2=x 的解是x=0或x=1
4、，所以方程的解组成的集合为0,1 （2）将x=0 代入y=2x+2021 ，得y=2021 ，即直线与y轴的交点是（0，2021），故直线与y轴的交点组成的集合是(0,2021) （3）不大于8的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，故所求集合为1,2,3,4,5,6,7,8 （4）15的正约数有1，3，5，15，故所求集合为1,3,5,15 .解题感悟 用列举法表示集合的步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来.注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开如(2,3)
5、,(5,-1) .迁移应用1.用列举法表示下列集合：（1）小于10的质数组成的集合A ；（2）方程x2-2x-3=0 的实数根组成的集合B ；（3）直线y=x+2 与直线y=-2x+5 的交点组成的集合D.答案：（1）因为小于10的质数包括2，3，5，7，所以A=2,3,5,7 .（2）方程x2-2x-3=0 的实数根为3，-1，所以B=3,-1 .（3）由y=x+2,y=-2x+5 得x=1,y=3,所以直线y=x+2 与直线y=-2x+5 的交点为（1，3），所以D=(1,3) .探究点二 描述法的应用精讲精练例 用描述法表示下列集合：（1）比1大且比10小的实数组成的集合；（2）不等式3
6、x+42x 的所有解组成的集合；（3）到两坐标轴距离相等的点组成的集合；（4）正奇数集M .答案：（1）可以表示成xR|1x10 （2）可以表示成x|3x+42x ，即x|x-4 （3）可以表示成(x,y)|xy=0 （4）设xM ，故全体奇数可用式子x=2n+1 ，nZ 表示，但此题要求为正奇数，故nN ，所以正奇数集M=x|x=2n+1,nN .解题感悟 描述法的一般形式为xAP(x) ，其中的x 表示集合中的代表元素，A 指的是元素的取值范围；P(x) 则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“| ”将代表元素与其特征分隔开来一般来说，集合中元素x 的取值范围A 需写明确，但若从上下文的关
7、系看，xA 是明确的，则xA 可以省略，只写元素x .迁移应用1.用描述法表示下列集合：（1）被3除余2的正整数组成的集合B ；（2）C=5,10,15,20 ；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D .答案：（1）设被3除余2的正整数为x ，则x=3n+2 ，nN ，所以被3除余2的正整数组成的集合B=x|x=3n+2,nN .（2）C=x|x=5n,n4,nN*（3）易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x0 ，y0 ，故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D=(x,y)|x0,且y0 .探究点三 集合表示方法的综合应用精讲精练例 集合A=x|kx2-
8、8x+16=0 ，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合.答案：当k=0 时，方程kx2-8x+16=0 变为-8x+16=0 ，解得x=2 ，即A=2 ，满足题意；当k0 时，要使集合A=x|kx2-8x+16=0 中只有一个元素，则方程kx2-8x+16=0 有两个相等的实数根，所以=64-64k=0 ，解得k=1 ，此时集合A=4 ，满足题意.综上所述，k=0 或k=1 ，故实数k的值组成的集合为0,1 .解题感悟（1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.（2）在学习过程中要注意数学思想的培养，如：数形结合思想、等价转化思想和分类讨论的思想.迁
9、移应用1.已知集合A=x|ax2-3x+2=0 .（1）若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围；（3）若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.答案：（1）当a=0 时，原方程可化为-3x+2=0 ，得x=23 ，符合题意.当a0 时，方程ax2-3x+2=0 为一元二次方程，由题意得，=9-8a=0 ，得a=98 .所以当a=0或a=98 时，集合A 中只有一个元素.（2）由题意得，当a0,=9-8a0,即a98 且a0 时，方程有两个实根，又由（1）知，当a=0 或a=98 时，方程有一个实根.所以a 的取值范围是a|a98
10、 .（3）由（1）知，当a=0 或a=98 时，集合A 中只有一个元素.若集合A 中没有元素，则a0,=9-8a0, 解得a98 .综上，a 的取值范围是a|a98或a=0 .评价检测素养提升 课堂检测1.下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A.y|y=2 B.x=2C.2 D.x|x2-4x+4=0答案：B2.（多选）由大于-3且小于1的偶数所组成的集合是( )A.-3,-2,-1,0,1B.-2,0C.x|-3x1,x=2kD.x|-3x1,x=2k,kZ答案：B ; D3.若A=-1,1,2,3 ，B=x|x=t2,tA 用列举法表示集合B 为 .答案：1,4,94.图中阴影部分（含
11、边界）所表示的点的集合用描述法表示为 .答案：(x,y)|0x2,0y15.给出下列说法：直角坐标平面内，第一、三象限的点组成的集合为(x,y)|xy0 ；方程x-2+|y+2|=0 的解集为2,-2 ；集合(x,y)|y=1-x 与x|y=1-x 是相等的其中正确的是 （填写所有正确说法的序号）答案：解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x,y) ，故正确；方程x-2+|y+2|=0 等价于x-2=0,y+2=0,即x=2,y=-2,所以方程的解为有序实数对(2,-2)，解集为(2,-2) ，或(x,y)x=2y=-2 ，故不正确；集合(x,y)
12、|y=1-x 的代表元素是(x,y) ，集合x|y=1-x 的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故不正确素养演练1.数学抽象描述法中点集与数集的区别下面三个集合：A=x|y=x2+1 ；B=y|y=x2+1 ；C=(x,y)|y=x2+1 .问：（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？答案：（1）不是.在A、B、C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合（2）集合A 的代表元素是x, 满足y=x2+1,故A=x|y=x2+1=R .集合B 的代表元素是y, 满足y=x2+1 的y1 故B=y|y=
13、x2+1=y|y1 .集合C 的代表元素是(x,y) ，满足条件y=x2+1 ，即表示满足y=x2+1 的实数对(x,y) ，也可认为满足条件y=x2+1 的坐标平面上的点因此，C=(x,y)|y=x2+1=(x,y)|点(x,y)是y=x2+1图象上的点 .素养探究：对于描述法表示的集合，一看代表元素，如x|P(x) 表示数集，(x,y)|y=P(x) 表示点集；二看条件，即看代表元素满足什么条件（公共特性）.同一集合，描述法表示可以不唯一，体现了数学抽象的核心素养.迁移应用1.（2021山东济南高一期末）下列集合与集合A=1,3 相等的是( )A.(1,3)B.(1,3)C.x|x2-4x+3=0 D.(x,y)|x=1,y=3答案：C
