1、山西省吕梁市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1复数的虚部为（）AiBCDi2甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（）A0.2B0.5C0.6D0.73设，是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）A若l，l，则B若l，m，则lmC若l，l，则D若l，则l4圆锥的母线长是2，侧面积是2，则该圆锥的高为（）ABCD25“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的黄鹤楼送孟浩然之广陵，黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称下
2、面是黄鹤楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30，沿直线前进37.5米到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45，则楼高AB约为（）（参考数据：）A45米B51米C62米D73米6已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（）A甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差7如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点
3、A，则四面体ADEF的外接球的表面积为（）A24B12C6D38如图，在ABC中，D是BC的中点，E在线段AB上，且BE3EA，AD与CE交于点O设，则x+y（）A1BCD二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（）A2个小球都是黑色B2个小球恰有1个是红色C2个小球都不是红色D2个小球至多有1个是红色10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b6，C30，
4、则使得角B有两个解的c的值可以是（）A3BC5D711如图，由A1，A2，A3，A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为p（0p1），则（）A甲、乙系统都正常工作的概率为8p4B甲系统正常工作的概率为2p2p4C乙系统正常工作的概率为1（1p）2D甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F（F靠近B1），且，则下列结论中正确的是（）AACBFB存在点E，F使得AF，BE相交C三棱锥ABEF的体积为定值DAF+BF的最小值为三、填空题（本大題共4小题，每小题5分，共20分）13某
5、公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12，18，24，21，25，32，28，23，30，则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是 14已知向量，且向量与的夹角为，则等于 15已知正三棱柱中ABCA1B1C1中，AB2，BB14，D，E分别是棱A1C1，BB1的中点，则异面直线B1D与AE所成角的正切值为 16如图，在ABC中，AC2，D是边BC上的点，且BD2DC，ADDC，则AB等于 四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知平面向量，且与共线（1）求y的值；（2）若，求向量与向量所夹角的余弦值18在中国扶贫志
6、愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农，品牌强农等方面的积极作用某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播现从观看过甲，乙村播的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分布表：乙村播所得分数频数分布表分数区间频数4.5，5.5）205.5，6.5）106.5，7.5）467.5，8.5）848.5，9.560（1）若以观
7、众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被评为年度优秀村播？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200名观众中对其评分为4.5，6.5）的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评分为5.5，6.5）的概率19已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形ABBC2，AF3，E，F分别为BC和CC1的中点（1）求三棱锥FACE的体积；（2）证明：AFB1E20随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人
8、“必考”证件之一驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止假设每个人科目二5次考试是否通过互不
9、影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率21如图，在四棱锥PABCD中，平面PDC平面ABCD，ADBC，ADDC，PDPB，CD3，E是PC的中点（1）证明：DE平面PAB；（2）证明：PD平面PBC；（3）已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长22在锐角ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有以下三个条件：a2+c2b2（4c22bc）cosA；请从以上三个条件中选择一个完成下列求解（1）求角A的大小；（2）若ABC的面
10、积为，求边b的取值范围参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.1复数的虚部为（）AiBCDi解：，复数的虚部为故选：C2甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（）A0.2B0.5C0.6D0.7解：甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是p0.70.50.2故选：A3设，是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）A若l，l，则B若l，m，则lmC若l，l，则D若
11、l，则l解：对于A，由面面平行的判定定理得A正确；对于B，由直线与平面垂直的性质定理得B正确；对于C，l，l，则在中一定存在直线与l平行，由面面垂直的判定可得，故C正确；对于D，若l，则l或l，故D正确；故选：D4圆锥的母线长是2，侧面积是2，则该圆锥的高为（）ABCD2解：设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，由题意可知，母线长l2，侧面积是2，则，解得r1，所以故选：A5“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的黄鹤楼送孟浩然之广陵，黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称下面是黄鹤楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30，沿直线前进37.5
12、米到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45，则楼高AB约为（）（参考数据：）A45米B51米C62米D73米解：因为在AED中，D30，EAD453015，DE37.5米，由正弦定理，可得AE，在ABE中，可得ABAEcos4551故选：B6已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（）A甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解：对于A，甲的成绩的平均数为：（5+62+72+82+92+101）7.5，乙的成绩的平均数为：（6+73
13、+82+93+101）8，甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A错误；对于B，甲的成绩的中位数为7.5，乙的成绩的中位数为8.5，甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B错误；对于C，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对集中，甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故C正确；对于D，甲的成绩的极差为1055，乙的成绩的极差为1064，甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D错误故选：C7如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将AED，BEF，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A，则四面体ADEF的外接球的表面积为（）A24B12C6D3
14、解：由题意可知AEF是等腰直角三角形，且AD平面AEF三棱锥的底面AEF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：球的半径为，则四面体ADEF的外接球的表面积为46故选：C8如图，在ABC中，D是BC的中点，E在线段AB上，且BE3EA，AD与CE交于点O设，则x+y（）A1BCD解：（1）ABC中，D是BC的中点，BE3EA，AD与CE交于点O则4x+y，因为E，O，C三点共线，所以4x+y1，因为A，O，D三点共线，所以（+）（4+）2+，所以由平面向量的基本定理可得4x2，y，所以xy，由组成方
15、程组解得xy，所以x+y故选：D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（）A2个小球都是黑色B2个小球恰有1个是红色C2个小球都不是红色D2个小球至多有1个是红色解：盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，总的基本事件有：“2个小球都是红色”，“2个小球都是黄色”，“2个小球都是黑色”，“2个小球分别为1红1黑”，“2个小球分别为1红1黄”，“2个小球分别
16、为1黄1黑”，选项A：“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故A正确，选项B：“2个小球恰有1个红色”包含“1红1黑与1红1黄”，与“2个小球都是红色”互斥不对立，故B正确，选项C：“2个小球都不是红色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故C正确，选项D：“2个小球至多有1个是红色”的对立事件为“2个小球都是红色”，故D错误，故选：ABC10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b6，C30，则使得角B有两个解的c的值可以是（）A3BC5D7解：如图，过A作ADBC，垂足为D，b6，C30，且使得角B有两个解，ADcAC，即3c6故选：BC11如图，由A1，A2
17、，A3，A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为p（0p1），则（）A甲、乙系统都正常工作的概率为8p4B甲系统正常工作的概率为2p2p4C乙系统正常工作的概率为1（1p）2D甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率解：甲系统正常工作的对立事件是A1，A2中至少一个元件不能正常工作，且A3，A4中至少一个元件不能正常工作，甲系统正常工作的概率为：P1（1P2）（1P2）2p2p4，故A错误，B正确；乙系统正常工作的情况为：A1，A2中至少一个元件能正常工作，且A3，A4中至少一个元件能正常工作，乙系统正常工作的概率为：P1（1p）21（1p）2p44p3+
18、4p2，故C错误；0P1，（2p2p4）（p44p3+4p2）2p2（1p）20，甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率，故D正确故选：BD12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F（F靠近B1），且，则下列结论中正确的是（）AACBFB存在点E，F使得AF，BE相交C三棱锥ABEF的体积为定值DAF+BF的最小值为解：对于A，连接BD，交AC于O，则ACBD，又BB1平面ABCD，则ACBB1，则有AC平面BDD1B1，BF平面BDD1B1，所以ACBF，故A对；对于B，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1
19、内，点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故B错；对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离为定值，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，故C正确；对于D，如图建立空间直角坐标系，可得A（1，1，0），B（0，1，0），设F（1t，t，1）（t1），AF+BF+（+），令f（t）（+）+，f（t）可以看作在平面直角坐标系内的点P（t，0）到点A（，）和点B（1，）的距离之和，如图B关于x轴的对称点C（1，），连结AC交x轴于点P（x0，0），显然x0，f（t）的最小值为AC，AF+BF的最小值为，故D正确故选：ACD三、填
20、空题（本大題共4小题，每小题5分，共20分）13某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12，18，24，21，25，32，28，23，30，则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是 21解：925%，此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是从小到大排序后的第3个数，而此门店1至9月份的营业额从小到大排序的前三个数是12，18，21，故此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是21，故答案为：2114已知向量，且向量与的夹角为，则等于 解：2，故答案为：215已知正三棱柱中ABCA1B1C1中，AB2，BB14，D，E分别是棱A1C1，BB1的中点，则异面直线B
21、1D与AE所成角的正切值为 解：以C为原点，过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），A（，1，0），B（0，2，0），A1（，1，4），B1（0，2，4），C1（0，0，4）则D（，4），E（0，2，2），所以（，0），（，1，2），设异面直线B1D与AE所成角为，则cos|，则正弦值sin，异面直线B1D与AE所成角的正切值tan故答案为：16如图，在ABC中，AC2，D是边BC上的点，且BD2DC，ADDC，则AB等于 3解：设ABc，BD2CD2AD2x，在ABC中，由余弦定理BC2AB2+AC22ABACcosBAC，可得9x2c2+22
22、2c2（），即9x2c2+4+，整理可得：.，联立消去x可得c3故答案为：3四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知平面向量，且与共线（1）求y的值；（2）若，求向量与向量所夹角的余弦值解：（1）由题意得：，因为与共线，所以（2）12（2y）0，解得y3（2）由（1）可知，于是，设向量与向量夹角为，则18在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农，品牌强农等方面
23、的积极作用某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播现从观看过甲，乙村播的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分布表：乙村播所得分数频数分布表分数区间频数4.5，5.5）205.5，6.5）106.5，7.5）467.5，8.5）848.5，9.560（1）若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被评为年度优秀村播？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200名观众中对其评分为4.5，6.
24、5）的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评分为5.5，6.5）的概率解：（1）由甲村播所得分数频率分布直方图，得由乙村播所得分数频数分布表，得；因为，所以乙能被评为年度优秀村播（2）因为乙能被评为年度优秀村播，200名观众中对乙评分为4.5，6.5）的观众有30名，其中评分为4.5，5.5）有20名，评分为5.5，6.5）有10名用分层抽样从中抽取6人，则其中评分为4.5，5.5）的有名，评分为5.5，6.5）的有名记评分为4.5，5.5）的4名观众为A1，A2，A3，A4，评分为5.5，6.5）的2名观众为
25、B1，B2，从中随机选取2人，结果可以是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种其中事件A“至少有1人评分为5.5，6.5）”包括的结果有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共9种所以深入座谈的观众中至少有1人评分为5.5，6.5）的概率为19已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面
26、AA1B1B为正方形ABBC2，AF3，E，F分别为BC和CC1的中点（1）求三棱锥FACE的体积；（2）证明：AFB1E解：（1）AA1B1B为正方形，且AB2，CC12，又F为CC1的中点，FC1，则又ABBC2，AB2+BC2AC2，ABC为等腰直角三角形E是CB的中点，CE1，CFSACE；证明：（2）连接BF，由（1）知ABBC，ABBB1，BCBB1B，AB平面CC1B1B，又B1E平面CC1B1B，ABB1EtanBB1E，且这两个角都是锐角，BB1EFBC，得BFB1E又ABB1E，ABBFB，B1E平面ABF，AF平面ABF，B1EAF20随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为
27、现代人“必考”证件之一驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止假设每个人科目二5次考试是否通
28、过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率解：（1）设Ai“丈夫在科目二考试中第i次通过”，Bi“妻子在科目二考试中第i次通过”，则，其中i1，2，3，4，5设事件A“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件B“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件C“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”则，因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为（2）设事件D“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件E“妻子参加科目
29、二考试需交补考费200元”，事件F“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”则，因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为21如图，在四棱锥PABCD中，平面PDC平面ABCD，ADBC，ADDC，PDPB，CD3，E是PC的中点（1）证明：DE平面PAB；（2）证明：PD平面PBC；（3）已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长【解答】（1）证明：取PB中点F，连接EF，AF因为E是PC的中点，所以EFBC，且，因为ADBC，所以EFAD，且EFAD，所以ADEF为平行四边形，DEAF又DE平面PAB，AF平面PAB，所以
30、DE平面PAB（2）证明：因为ADBC，ADDC，所以BCDC因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDDC，BC平面ABCD，所以BC平面PDC因为PD平面PDC，所以BCPD又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC（3）解：过D作DGAB，交BC于点G，连接PG，则DG与平面PBC所成角等于AB与平面PBC所成角因为PD平面PBC，所以DGP为直线DG与平面PBC所成角在RtDCG中，易得CG1，所以在RtDPG中，则PD2所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为时，PD的长为222在锐角ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有以下三个条件：a2+c2b2（4c22
31、bc）cosA；请从以上三个条件中选择一个完成下列求解（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为，求边b的取值范围解：（1）选择条件：因为a2+c2b2（4c22bc）cosA，根据余弦定理得，依据正弦定理得，所以cosBsinA+sinBcosA2sinCcosA，所以sin（A+B）2sinCcosA因为A+BC，所以sin（A+B）sinC2sinCcosA，且sinC0，则，因为A（0，），所以选择条件：因为，由正弦定理得因为A+B+C，所以，则因为sinC0，所以，即，因为A（0，），所以选择条件：因为，由正弦定理得，因为C（A+B），则，且sinC0，所以，则，因为，所以，则，从而得（2）因为ABC是锐角三角形，所以，所以因为，所以bc8，在ABC中，依据正弦定理得，则，所以因为，所以，所以，所以4b216，所以2b4，b的取值范围为（2，4）
