1、等比数列的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1已知等比数列中，a31，a52，则首项a1()A B C D0【解析】选B.设等比数列的公比为q，则，解得q22，所以a1.2数列an满足：an1an1(nN*，0，R)，若数列an1是等比数列，则的值是()A1 B2 C D1【解析】选B.数列an1为等比数列q，即：an2qanq，恒成立，可知：2.3在正项等比数列an中，a4，a46为方程x2100x90的两根，则a10a25a40()A9 B27 C64 D81【解析】选B.由已知得a4a469a，因为an是正项
2、等比数列，所以 a253，所以a10a25a40a27.4已知数列an满足a11，an1an，nN*，则an()A BC D【解析】选A.因为an1an，所以q.所以ana1qn1.5已知等比数列an的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则logq的值为()A B C2 D2【解析】选A.由已知得所以解得q，所以logqloglog212.6(多选题)下面说法错误的是()A若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列B等比数列的首项不能为零，但公比可以为零C常数列一定为等比数列D任何两个数都有等比中项【解析】选ABCD.A.错误，根据等比数列的定
3、义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列B.错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零C.错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列D.错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项二、填空题(每小题5分，共10分)7在等比数列an中，a22，a44，则a6_【解析】设公比为q，由条件知解得q22，故a6a1q5a1qq42228.答案：88已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.则a3_；an的通项公式为_【解析】由题意可得a2，a3.由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数，所以.
4、故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.答案：an(nN*)三、解答题(每小题10分，共20分)9已知数列an为等比数列，an0，a12，2a2a330.(1)求an；(2)若数列bn满足bn1bnan，b1a2，求b5.【解析】(1)设公比为q，由题意得2a1qa1q230，所以4q2q230，所以q22q150，所以q3或5.因为an0，所以q3.所以ana1qn123n1(nN*).(2)因为b1a2，所以b16.又bn1bnan，所以bn1bn23n1.所以b2b1230628，b3b22318614，b4b3232141832，b5b4233325486.10(2018全国卷)
5、已知数列满足a11，nan12an，设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；(3)求的通项公式【解析】(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)数列bn是首项为1，公比为2的等比数列理由如下：由条件可得，即bn12bn，又b11，所以数列bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10 ()A7 B5 C5 D7【
6、解析】选D.由题意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.2已知等比数列中，a24，a5，则公比q()A2 B C D2【解析】选B.因为a5a2q3，即4q3，解得q.3已知数列是等比数列，a11，且4a1，2a2，a3成等差数列，则a2a3a4()A7 B12 C14 D64【解题指南】先根据已知条件解出公比，再根据等比数列通项公式求结果【解析】选C.因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a24a1a3又因为a11所以4q4q2，解得q2，所以a2a3a42222314.4已知数列an的前n项和Snan1(a0，aR)，那么数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C要么是等差数列，
7、要么是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】选C.当a1时，该数列的各项为0，此时为等差数列，但不是等比数列；当a1时，由Snan1得，anSnSn1an1an11(a1)an1(n2)，此式对n1也成立，所以a(n2)，此时an是等比数列，但不是等差数列二、填空题(每小题5分，共20分)5已知数列an的前n项和Sn2an1，则该数列的通项公式an_【解析】由Sn2an1得：Sn12an11，所以an1Sn1Sn2an12an，即an12an又S12a11，则a11.由此可得，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，则an2n1.答案：2n16已知数列的通项公式为an3n1
8、，则数列中能构成等比数列的三项可以为_.(只需写出一组)【解析】因为数列的通项公式为an3n1，所以数列中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，易得所以2，8，32能构成等比数列答案：2，8，327我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通关第8关”，则第8关需收税金为_x.【解析
9、】第1关收税金：x；第2关收税金：xx；第3关收税金：xx；，可得第8关收税金：x，即x.答案：8各项均为正数的等比数列an中，a2a11.当a3取最小值时，数列an的通项公式an_【解析】设等比数列的公比为q(q0)，由a2a11，得a1(q1)1，所以a1.a3a1q2(q0)，而，当q2时，式有最大值，所以当q2时，a3有最小值4.此时a11.所以数列an的通项公式为an2n1(nN*).答案：2n1(nN*)三、解答题(每小题10分，共30分)9设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式【解析】
10、(1)由已知，有a1a24a12，所以a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知等比数列bn中，b13，公比q2，所以an12an32n1.于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n.所以an(3n1)2n2.10已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S535，a1，a4，a13成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.【解析】(1)因为S55a335，所以a37，设an公差为d，因为a1，
11、a4，a13成等比数列，所以aa1a13，即(7d)2(72d)(710d)，解得d0(舍)或2，因为a3a12d7，所以a13，所以an2n1.(2)由(1)知Snn(n2)，所以，所以Tn().11已知数列an的前n项和为Sn，且an，nN*.(1)若数列ant是等比数列，求t的值；(2)求数列an的通项公式；(3)记bn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)当n1时，由a1，得a11；当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，所以a23，a37，由已知a1t，a2t，a3t成等比数列，所以(3t)2(1t)(7t)，解得t1，当t1时，an12(an11)，n2，即an1为等比数列成立，所以实数t的值为1.(2)由(1)知，当n2时，an12(an11)，又因为a112，所以an1是首项为2，公比为2的等比数列，an122n12n，所以an2n1.(3)由(2)知bn，所以Tn1.
