1、3.1 函数与方程课堂探究探究一求函数的零点因为函数f(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，通过解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点【典型例题1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点(1)f(x)8x27x1；(2)f(x)1log3x；(3)f(x)4x16；(4)f(x).思路分析：可通过解方程f(x)0求得函数的零点解：(1)令8x27x10，解得x或x1.所以函数的零点为x和x1.(2)令1log3x0，则
2、log3x1，解得x.所以函数的零点为x.(3)令4x160，则4x42，解得x2.所以函数的零点为x2.(4)因为f(x)，令0，解得x6.所以函数的零点为x6.探究二 判断函数零点的个数判断函数yf(x)零点的个数的方法主要有：(1)解方程f(x)0，方程实根的个数就是函数零点个数；(2)当方程f(x)0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(3)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数yf(x)零点的个数【典型例题2】 求函数f(x)2xlg(x1)
3、2的零点个数解：方法一：f(0)10210，f(2)4lg 322lg 30，f(x)在(0,2)上必定存在实根，又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：h(x)22x和g(x)lg(x1)的叠合图由图象知ylg(x1)和y22x有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点方法总结用零点存在定理判断函数yf(x)在(a，b)内零点唯一，可按以下步骤进行：(1)判断f(a)f(b)0；(2)判断函数yf(x)在(a，b)上单调探究三判断函数的零点所在的大致区间如果函数通过零点时函数值的符号发生改
4、变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点如函数yx2的零点就是不变号零点函数零点存在定理可判断变号零点所在区间【典型例题3】 方程log3xx3的解所在的区间为()A(0,2) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析：构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间令f(x)log3xx3，则f(1)log311320，f(2)log3223log30，f(3)log333310，f(4)log3443log3120，那么方程log3xx3的解所在的区间为(2,3)答案：C探究四 易错辨析易错点忽视零点存在性定理的使用条件致误【典型例题4】 函数f(x)x的零点个数为()A0 B1 C2 D3错解：因为f(1)20，f(1)20，所以函数f(x)有1个零点，故选B.错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域通过作图(图略)，可知函数f(x)x的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用正解：函数f(x)的定义域为x|xR，且x0当x0时，f(x)0，f(x)0无实根当x0时，f(x)0，f(x)0无实根综上，函数f(x)没有零点答案：A
