1、1.4.3 正切函数的性质与图象 1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进行扩展，即得到整个定义域内的图象.通过平移正弦线得到正弦函数在 的图象,再通过诱导公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象.0,2 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.这些性质是通过研究其图象得到的.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，因此,进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.1.了解利用正切线画出正切函数图象的方法.(难点）2.理解正切函数的图象和性质，并能进
2、行应用.（重点）思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？(kkk2 因为 f(x)tan(x)tan xf(x),所以y=tanx是周期函数,最小正周期是.探究一:正切函数的性质提示:提示:思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？由诱导公式 知 tan(x)tan x,xR,xk,k2 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.提示:思考4：观察图中的正切线，当 角在 内增加时，正切 函数值发生什么变化？由此反 映出一个什么性质？(,)22 T1 xyA T2 O函数值先由-0再由0+；正切函数在 内
3、是增函数.2 2（-,）提示:思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的单调性如何？正切函数在开区间 内都是增函数 (kkk2 思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？不是 不会 提示:提示:思考7：当x大于 且无限接近 时，正切值如何变化？当x小于 且无限接近 时,正切值又如何变化？由此分 析，正切函数的值域是什么?2222T1 OxyA T2 O当 大于 且无限接近 时,正切 线AT向y轴的负方向无限延伸；22x当 小于 且无限接近 时正切线 AT向y轴的正方向无限延伸.22x 在(，)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值.22tan x正切函数的
4、值域是R提示:正切函数的性质1.定义域：x|xk,k.2 2.值域：R3.周期性：正切函数是周期函数，周期为 .5.单调性：正切函数在开区间 内都是增函数.(k,k),k22 4.奇偶性：正切函数是奇函数，图象关于原点对称.求函数 的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性.ytan(3x)315x|xkk.318，R.115k,k318 318 在（）.3最小正周期是答案:定义域：值域：单调性：奇偶性：非奇非偶函数.周期性：上是增函数.【即时训练】探究二：正切函数的图象 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线 作正切函数 的图象，具体应 如何操作？tan,(,)2 2 yx x2848
5、38483xy作法:(1)等分(2)作正切线，平移(3)连线 1oO作正切函数的图象：正切曲线 O32 正切曲线是由被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.x=k,k2 Z求下列函数的周期(1)y2tan(2x3)；(2)y3tan(12x4)分析 利用周期函数的定义求解，或利用 yAtan(x)(0)的周期为|求解【即时训练】解析：(1)T|，2，T2.y2tan(2x3)的周期为2.(2)T|，12，T2.y3tan(12x4)的周期为 2.例1.求函数 的定义域、周期和单调区间.ytan(x)23解：函数的自变量x应满足xk,k,232 即1x2k,k.3 所以，函数的定义域是1x|
6、x2k,k.3由于 f(x)tan(x)tan(x)2323 tan223x2,f x因此函数的周期为2.由kxk,k2232 解得512kx2k,k.33 因此，函数的单调递增区间是51(2k,2k),k.33 掌握正切函数的性质是解决此类问题的关键求函数 ytan3x3 的定义域，并指出它的单调性分析：把 3x3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决【变式练习】解析：要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x3k2(kZ)，得 xk3 518(kZ)，函数的定义域为xxk3 518，kZ.令 k23x3k2(kZ)，即k3 18xk3 518(kZ)函数的单调递增区间为k
7、3 18，k3 518(kZ)，不存在单调递减区间90167173180 ，例2.比较下列每组数的大小.tan()yx在，上是增函数，2tan167tan173.所以解:(1)tan167 与tan173.11(2)tan()4与13tan().5(1)因为 说明：比较两个正切值大小,关键是把相应的角转化到y=tan x的同一单调区间内,再利用y=tan x的单调性解决.11tan()tan,44 132tan()tan.55 20,452 2tantan45 所以1113tan()tan().45所以(2)因为，y=tan x(0,)2又在上是增函数，比较大小（1）_ tan138tan14
8、3；(2)_ 13tan()417tan().5【变式练习】tan3.x解：方法一：利用正切线 例3.解不等式 yxTA3Oxk,k(k)32 由图形可知：原不等式的解集为方法二：利用正切曲线 xk,k)(k)32 由图形可知：原不等式的解集为Oyx323记住正切函数在一个周期内的图象(,)2 2 3tan(x).631 tan0；x答案:（1）x kxk,k42 ；2x kxk,k.33 解不等式（1）（2）（2）【变式练习】1、ytanx()A在整个定义域上为增函数B在整个定义域上为减函数C在每一个开区间2k，2k(kZ)上为增函数D在每一个闭区间2k，2k(kZ)上为增函数 C2、f(x
9、)tan2x 是()A奇函数B偶函数C奇函数又是偶函数D非奇非偶函数 B3、函数 y3tanx1 的定义域是_ xx2k，kZ4、不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“”连接起来(1)tan32_tan215.(2)tan185 _tan289.解析：(1)tan215tan(18035)tan35，ytanx 在(90，90)上单调递增，90323590，tan32tan35，即 tan32tan215.(2)tan185 tan425 tan25，tan289tan39 tan9，而225 92，ytanx 在2，2 上单调递增，tan25 tan9，tan185 tan289.正切函数图像性质不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.张衡
