1、江苏省宿迁市宿豫中学2019-2020学年高二数学下学期4月月考试题（奥赛班，含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分.请把答案涂写在答题卡相应位置.1.设，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.如果函数的图象
2、如下图，那么导函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意
3、选项一一排除.3.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由，得：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.4.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】求出曲线在处的切线方程，求出切线的横截距和纵截距后可得所求的面积.【详解】，故切线的斜率为，故切线方程为：，化简得到.令，则；令，则.故切线与坐标轴所围三角形的面积为.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及直线方程的应用，对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问
4、题的核心是切点的横坐标，本题属于基础题.5.若， 则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，则，令，则，故单调递减，据此可得，函数在区间上单调递减，故当时，即，即.本题选择B选项.6.若复数,为的共轭复数,则（ ）A. iB. iC. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则求出,结合周期性即可得出结果.【详解】解: ,故选:A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查虚数单位的性质,是基础题.7.设在内单调递增，则是的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：在内单调递增，则
5、，即在上恒成立，令,由于，则，则，则，设的最大值为N，则必有，则的取值范围是，所以是的必要不充分条件考点：1导数与函数的单调性；2均值不等式；3估算法；4充要条件与集合的包含关系；8.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.9.已知对任意实数，有，且时，则时（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，故选B10.设函数是奇函数
6、（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.11.已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为( )A. 2B. C. 3D. 【答案】A【解析】,且又，当且仅当12.设函数,若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数的取值范围（ ）A. B. C.
7、D. 【答案】C【解析】【分析】令,化简得,构造函数,画出两个函数图像,结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组,解不等式组求得的取值范围.【详解】解: 有两个正整数解,即有两个不同的正整数解,令,故函数在区间和上递减,在上递增,画出图像如下图所示:要使恰有两个不同的正整数解等价于解得,故.故选:C【点睛】本题主要考查不等式解集问题,考查数形结合的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数y的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是，则_.【答案】3【解析】由题意知，所以f(1)f(1
8、)3.答案：3.14.已知函数,当趋向于零时，则分式趋向于_.【答案】【解析】【分析】根据瞬时变化率求解即可.【详解】解: , ,所以,当趋向于零时,分式趋向于.故答案为: 【点睛】本题考查导数的瞬时变化率,是基础题.15.已知复数，满足，则_【答案】【解析】分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值详解：设 因为所以 即化简得 点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题16.对于总有成立，则= 【答案】4【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想要使恒成立，只要在上恒成立
9、当时，所以，不符合题意，舍去当时，即单调递减，舍去当时 若时在和上单调递增，在上单调递减所以 当时在上单调递减，不符合题意，舍去综上可知a=4.三.解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.17.已知函数,（1）计算函数的导数的表达式;（2）求函数的值域.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可;（2）根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.【详解】解: （1）因为,所以.故函数的导数;（2）,函数在上是单调增函数,所以,所以;故函数的值域为.【点睛】本题考查函数的导数的求法,
10、以及利用导数求函数的值域,是基础题.18.设是虚数,是实数,且.（1）求的值及的实部的取值范围;（2）设,求证为纯虚数.【答案】（1）;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出复数写出的表示式,进行复数的运算,把整理成最简形式根据所给的的范围,得到的虚部为0,实部属于这个范围,得到的实部的范围.（2）根据设出的,整理的代数形式,进行复数的除法的运算,整理成最简形式根据上一问做出的复数的模长是1,得到是一个纯虚数【详解】解：（1）由是虚数,设则,且,即,此时,.即的实部的取值范围为.（2）设,又,故是纯虚数.【点睛】本题考查复数的概念,复数代数形式的运算法则,是基础题.19.已知函数（）当时
11、，求函数在上的单调区间；（）求证：当时，函数既有极大值又有极小值【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当时，对x分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.【详解】（1）当时， 所以， 令得，或. 当变化时，的变化情况如下表： 所以在上的单调递增区间是，单调递减区间是. (2)当时，若，则，所以 因为，所以 若，则，所以 令 ，所以有两个不相等的实根，且 不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：因为函数图象是连续不断的，所以当时，即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调
12、性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想20.已知函数（1）讨论函数在定义域上单调性;（2）若函数在上的最小值为,求的值.【答案】当时, 在上单调递增;当时, 在上单调递减; 在上单调递增.（2）.【解析】【分析】（1）确定函数的定义域根据,可得在定义域上的单调性;（2）求导函数,分类讨论,确定函数在上的单调性利用在上的最小值为即可求的值.【详解】解：（1）函数的定义域为,且,当时, 在上单调递增;当时,令,得在上单调递减; 在上单调递增.（2）由（1）知,若,则,即在上恒成立,此时在上为增函数,在上的最小值为,（舍去）若,则,即在
13、上恒成立,此时在上为减函数,（舍去）.若,令,得.当时,在上为减函数; 当时,在上为增函数,综上可知：【点睛】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.21.已知函数（1）若在处取得极小值,求的值;（2）设是的两个极值点,若,求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）的最小值.【解析】【分析】（1）求导函数,再由,得的两个值,通过极小值,确认的值;（2）整理并求导,得到关于含参的一元二次方程,韦达定理可得关系,再由,整理得关关系式,将韦达定理代入解得的最小值.【详解】解:（1）,由题意得,即,解得或,当时,当或时,;当时,所以在处取得极小值,满
14、足题意.当时,当或时,;当时,所以在处取得极大值,不满足题意.综上:（2）,所以,因为恒成立,所以恒有两个极值点.由题意可知是的两根,所以,.由,得.即将,代入整理的. 因为,所以解得.所以的最小值.【点睛】本题主要考查导数研究函数极值的知识点,主要运用求导法,分类讨论法思想方法.22.已知函数,函数的导函数在上存在零点.（1）求实数的取值范围;（2）若存在实数,当时,函数在时取得最大值,求正实数的最大值.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）依题意求出,然后对求导,根据函数在上存在零点.则设在上存在零点,结合二次函数存在零点的性质列不等式,求解即可;（2）根据函数在时取得最大值,可解得
15、,判断原函数的单调性,根据单调性列不等式求解即可.【详解】解: （1）已知,所以定义域为: 因为函数在上存在零点.则设,在上存在零点 ,则,整理得,则即或解得,结合,即可得出的取值范围为:（2） ,则,当,即时,恒成立,所以在上单调递增,不符合题意.当时,令,解得: ,当时, ,单调递增,所以不存在,使得在上取得最大值.当,即,解得: 当且仅当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增.若,则在上单调递减,所以,若,则在上单调递减,在上单调递增.由题意可知,即.整理得,因为存在,符合上式,所以,解得.综上,最大值为4.故正实数的最大值为4.【点睛】本题考查导数与零点问题,考查导数的单调性问题,是中档题.
