1、4.1.2圆的一般方程基础过关练题组一对圆的一般方程的理解1.(2019江西宜春高二月考)圆x2+y2-4x-2y+1=0的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.圆M:x2+y2-4x+2y=0的面积为()A.5B.4C.3D.23.曲线x2+y2+22x-22y=0关于()A.直线x=2成轴对称B.直线y=-x成轴对称C.点(-2,2)成中心对称D.点(-2,0)成中心对称4.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-35.(2020湖南张家界高二上期末)已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,
2、求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径长.题组二圆的一般方程的求法6.(2021河南洛阳高一上期末)已知圆C经过原点O(0,0),A(4,3),B(1,-3)三点,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x-3y=0B.x2+y2-x+3y=0C.x2+y2-5x-5=0D.x2+y2-7x+y=07.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()A.(x+3)2+(y-2)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=28.已知ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),则A
3、BC外接圆的一般方程为.9.求经过两点P(-2,4),Q(3,-1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的一般方程.题组三圆的一般方程的应用10.圆C:x2+y2+x-6y+3=0上有两点A,B关于直线kx-y+4=0对称,则k=()A.2B.-32C.32D.不存在11.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是()A.65B.3+5C.14+65D.1412.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC面积的最小值是()A.3-2B.3+2C.3-22D.3-2213.(2020四川攀枝花高二上期末)若点(1,2)在圆x2+y2-
4、ax-2y+2=0外,则实数a的取值范围是.14.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,求P点的轨迹方程.能力提升练一、选择题1.(2020天津南开中学高三月考,)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则a的值为()A.-2或2B.12或32C.2或0D.-2或02.(2021云南普洱高二月考,)已知曲线y=x2+x-2 020与x轴交于M,N两点,与y轴交于P点,则MNP外接圆的方程为()A.x2+y2+x-2 019y-2 020=0B.x2+y2+x-2 021y-2 020=0C.x2+y2+x+2 019y-2 020=
5、0D.x2+y2+x+2 021y-2 020=03.()要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有()A.D2+E2-4F0,且F0B.D0C.D=0,F=0D.D24F,F0,解得m0).因为圆C经过原点O(0,0),A(4,3),B(1,-3)三点,所以F=0,16+9+4D+3E+F=0,1+9+D-3E+F=0,解得D=-7,E=1,F=0,即圆的方程为x2+y2-7x+y=0.7.C由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,则其圆心O1的坐标为(1,0),半径长为2,故排除选项A,B.易求选项C中圆的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2
6、的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而选项D中圆的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.8.答案x2+y2-4x-2y-20=0解析解法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则1+25-D+5E+F=0,25+25+5D+5E+F=0,36+4+6D-2E+F=0,解得D=-4,E=-2,F=-20,所以圆的一般方程为x2+y2-4x-2y-20=0.解法二:线段AB的中点为(2,5),kAB=0,所以线段AB的垂直平分线为x=2.线段BC的中点为112,32,kBC=-7,所以线段BC的垂直平分
7、线的斜率k=17,其方程为y-32=17x-112,即x-7y+5=0.两条垂直平分线的交点即为圆心,设为点D,则D(2,1),半径长r=|AD|=(-1-2)2+(5-1)2=5.所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.9.解析设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),将P(-2,4),Q(3,-1)代入圆的方程并化简得2D-4E-F=20,3D-E+F=-10.令y=0,得x2+Dx+F=0.设x1,x2为方程x2+Dx+F=0的两个根,则x1+x2=-D,x1x2=F.由|x1-x2|=6得D2-4F=36,联立,解
8、得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.所以圆的一般方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.10.A由题意得圆C的圆心为C-12,3,易知直线kx-y+4=0经过圆心C-12,3,所以-k2-3+4=0,解得k=2,故选A.11.C将方程x2+y2+4x-2y-4=0进行整理,得到(x+2)2+(y-1)2=9,它表示圆心为(-2,1),半径长为3的圆,画出相应的图形,如图所示.设圆心为B,连接OB并延长,与圆B交于A点,则x2+y2的最大值为|AO|2,又|AO|=|AB|+|BO|=3+(-2)2+12=3+5,则|AO|2=(3+5)2=14
9、+65,即x2+y2的最大值为14+65.故选C.12.A直线AB的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径长r=1.圆心到直线AB的距离d=|1-0+2|12+(-1)2=322,所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为322-1,所以ABC面积的最小值是12|AB|322-1=1222322-1=3-2.13.答案(-,-2)(2,3)解析因为x2+y2-ax-2y+2=0表示圆,所以(-a)2+(-2)2-420,解得a2.因为点(1,2)在圆x2+y2-ax-2y+2=0外,所以12+22-a-22+20,解得a0),点Q是MNP的外接圆与y轴的另一个交点,M(x1,0),N(x
10、2,0),P(0,y1),Q(0,y2),分别令x=0,y=0,则y2+Ey+F=0,x2+Dx+F=0,则x1x2=y1y2=F,x1+x2=-D,y1+y2=-E.由曲线y=x2+x-2 020与x轴交于M,N两点,与y轴交于P点,得x1x2=-2 020,x1+x2=-1,y1=-2 020,所以D=1,F=-2 020,y2=1,E=-(y1+y2)=-(-2 020+1)=2 019,故MNP外接圆的方程为x2+y2+x+2 019y-2 020=0.故选C.3.D令y=0,得x2+Dx+F=0.因为圆与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,所以方程有一个正根和一个负根,所以F0,即D2
11、4F,F0,故选D.4.B设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=4(x-1)2+4y2,即(x-2)2+y2=4,该方程表示以(2,0)为圆心,2为半径长的圆.故点P的轨迹所围成的图形的面积S=4.5.B由题意知圆M的圆心为(-2,-1),易知点M在直线l上,所以-2a-b+1=0,所以b=-2a+1,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+55.所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.二、填空题6.答案42解析圆C:x2+y2+4x-4y=0,即(x+2)2+(y-2)2=8,表示以C(-2,2)为圆心,r=22为半径长
12、的圆.由于|CO|=22,所以|OM|的最大值为|CO|+r=42.7.答案(x-1)2+y-122=54解析如图所示,l1:mx-y=0,过定点O(0,0),kl1=m.l2:x+my-m-2=0,即m(y-1)+x-2=0,过定点A(2,1).若m0,则kl2=-1m.kl1kl2=-1,直线l1与直线l2互相垂直,故有POPA.若m=0,则l1:y=0,l2:x=2,l1l2,仍有POPA.直线l1与直线l2的交点P必在以OA为直径的圆上,则该圆的圆心为线段AO的中点1,12,半径长为12|OA|=1222+12=52,圆的方程为(x-1)2+y-122=54.8.答案205解析由题意得
13、圆P的圆心坐标为P(3,4),半径长为5.由于点(2,6)到圆心的距离为50),由题意可得|QB|=|2x0+10|5=45,解得x0=5或x0=-15(舍去),所以点Q(5,10),所以|OQ|=52+102=55.(2)因为QA垂直于x轴,QB垂直于射线OM,垂足分别为A,B,所以圆C是以OQ为直径的圆,所以圆心坐标为52,5,半径长为552,所以圆C的方程为x-522+(y-5)2=1254,即x2-5x+y2-10y=0.设圆C上的任意一点P的坐标为(x,y),点E(m,0),点F(n,-2n),n0),所以(x-m)2+y2(x-n)2+(y+2n)2=2,化简得x2-2mx+m2+y2=2(x2-2nx+n2+y2+4ny+4n2),又因为点P在圆C:x2-5x+y2-10y=0上,所以5x-2mx+10y+m2=2(5x-2nx+10y+4ny+5n2),所以(52-2n2-5+2m)x+(102+4n2-10)y+52n2-m2=0,因为点P为圆C上任意一点,所以52-2n2-5+2m=0,102+4n2-10=0,52n2-m2=0,解得=52,m=-54,n=-12,经检验符合题意,所以在x轴及射线OM上分别存在定点E-54,0,F-12,1,使|PE|PF|为定值52.
