1、安徽省皖南八校2015届高三上学期12月联考数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是正确的1复数z满足=i，则z=( )AiBiC1iD1i考点：复数代数形式的乘除运算 分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：复数z满足=i，=i1故选：D点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题2集合A=x|x22x0，集合B是函数y=lg（2x）的定义域，则AB=( )A（，0）B（0，1）C（1，2）D（2，+）考点：交集及其运算 专题：集合分析：利用不等式的性质、对数函数的定义域和交集性质求解解答：解：集合A=x|x22x0=x|x2或x0，集合B是函数y=lg（2x）
2、的定义域，即B=x|2x0=x|x2，AB=x|x0=（，0）故选：A点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式的性质、对数函数的定义域和交集性质的合理运用3已知函数f（x）是偶函数，且x0时，f（x）=sin2x，则f（）=( )ABCD考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：运用偶函数的定义，再由已知区间上的函数解析式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值，即可得到解答：解：函数f（x）是偶函数，则f（x）=f（x），则f（）=f（），且x0时，f（x）=sin2x，则有f（）=sin=sin（4）=sin=故选C点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函
3、数值，考查三角函数的求值，考查运算能力，属于基础题4为调查某中学学生平均每人每天参加体育锻炼时间X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：010分钟；1020分钟；2030分钟；30分钟以上有2000名中学生参加了此项活动下表是此次调查中的频数分布表国家规定中学生每天参加体育锻炼时间达到30分钟以上者，才能保持良好健康的身体发展，则平均每天保持良好健康的身体发展的学生的频率是( )组距0，10）10，20）20，30）30，+）频数400600800200A0.1B0.2C0.3D0.4考点：频率分布表 专题：概率与统计分析：根据频率分布表，利用频率=，求出频率即可解答：解：根据频率分布
4、表，得；每天保持良好健康的身体发展的学生的频率，即每天参加体育锻炼时间达30分钟以上的学生的频率是=0.1故选：A点评：本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，解题时应熟记公式，是基础题5已知等比数列an的公比为q，且a10，则“q0”是“数列an为递增数列”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：分充分性和必要性考虑，注意q的范围q0且q1解答：解：等比数列an的公比为q，且a10，为大前提，且q0，且q1，充分性：“q0”时，例如0q1，推不出“数列an为递增数列”，充分性不成立；必要性：“
5、数列an为递增数列”，则q1，可推出“q0”，必要性成立；综上，“q0”是“数列an为递增数列”的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查充要条件，综合等比数列的相关知识求解6设a=log5（2），b=log5，c=log6( )AabcBacbCbacDbca考点：对数值大小的比较；方根与根式及根式的化简运算 专题：函数的性质及应用分析：由于（2）239.439，可得ab又=c，即可得出解答：解：（2）239.439，a=log5（2）log5=b又=c，abc故选：A点评：本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题7执行如图所示的程序框图，输出的Z值为( )A80
6、B480C1920D3840考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序运行的过程，即可得出输出的结果是什么解答：解：模拟程序运行的过程，如下；第1次运行时，S=log210，a=8；第2次运行时，S=log210+log28，a=6；第3次运行时，S=log210+log28+log26，a=4；第4次运行时，S=log210+log28+log26+log24=log21920，a=2；此时恰好满足a3，输出Z=1920故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序运行的过程，以便得出正确的结果8已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为( )ABCD
7、1考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为钝角三角形，高为2的直三棱柱，求出它的体积即可解答：解：根据几何体的三视图得，该几何体是一个直三棱柱，底面三角形是钝角三角形，其三边长分别为1、；且底面三角形的面积为S=11=，棱柱的高为h=2，该三棱柱的体积为V=Sh=2=1故选：D点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体是什么图形，是基础题9设x，y满足约束条件，若目标函数z=的最大值为2，则z的最小值为( )ABCD1考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：作出约束条件，从而得z
8、1=，z2=，z3=；z4=；故最大值为=2，从而求得解答：解：作出约束条件，表示的可行域如右图的阴影部分所示，阴影部分四边形四顶点为（0，0），（1，0），（2，3），（0，1）；则z1=，z2=，z3=；z4=；由条件知m0，故=2，则m=6；故z的最小值为故选C点评：本题考查了简单线性规划的应用，属于中档题10直线l过抛物线y2=4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点B在x轴下方，若直线l的倾斜角，则|FB|的取值范围是( )A（1，4+2B（1，3+2C（2，4+2D（2，6+2考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）
9、当=时，直线l的斜率k=1，直线l的方程为y=（x1），与抛物线方程联立可得x26x+1=0，解得x=32，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1由于直线l的倾斜角，即可得出|FB|的取值范围解答：解：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）当=时，直线l的斜率k=1，直线l的方程为y=（x1），联立，化为x26x+1=0，解得x=32，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1=4+2直线l的倾斜角，|FB|的取值范围是（1，4+2故选：A点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题，考查了计算能力，属于基础题二、填空题：每小题5分，共25分11曲线y=在x=处切线与x
10、轴交点坐标为（，0）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程求得切线方程，再令y=0，即可得到交点坐标解答：解：y=的导数为y=，在x=处切线的斜率为：=，则曲线在点（）处的切线方程为：y=（x），令y=0，可得，x=，即交点为（，0）故答案为：（，0）点评：本题考查导数的运用：求切线方程，注意导数的运算，考查点斜式方程及运用，考查运算能力，属于基础题12设向量=（4，1），=（1，cos），若，则cos2=考点：二倍角的余弦 专题：计算题；三角函数的求值分析：由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，求出
11、cos的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，代入即可求出值解答：解：=（4，1），=（1，cos），1=4cos，cos=，cos2=2cos21=故答案为：点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键，属于基本知识的考查13已知等差数列an中，a2=2，a4=8，若abn=3n1，则b2015=2016考点：数列递推式；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出an=1+（n1）3=3n4，从而an+1=3n1，由此得到bn=n+1，进而能求出b2015解答：解：等差数列an中，a2=2，a4=8，d=
12、（82）=3，a1=23=1，an=1+（n1）3=3n4，an+1=3n1，abn=3n1，bn=n+1，b2015=2015+1=2016故答案为：2016点评：本题考查数列的第2015项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用14已知在直角坐标平面中，圆C的方程为x2+y24x+2y+4=0，若在直线y=kx+2上存在点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（，考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由已知得圆心C（2，1）到直线y=kx+2的距离：d=2，由此能求出实数k的取值范围解答：解：圆x2+y24x+2y+4=0的圆心C（2，1）
13、，半径r=1，在直线y=kx+2上存在点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，圆心C（2，1）到直线y=kx+2的距离：d=2，解得k实数k的取值范围是（，故答案为：（，点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用15设函数f（x）=A（sinx+cosx）（A0，0），则在“f（x）的最大值为A；f（x）的最小值正周期为；函数f（x）在区间0，上是增函数；若f（x）在区间，上是单调的；若f（）=f（），则f（x）的图象关于直线x=对称”中，正确的有考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用正弦函数的最值、周期性
14、、图象的对称性、单调性，对各个结论的正确性作出判断，从而得出结论解答：解：f（x）=A（sinx+cosx）=Asin（），f（x）的最大值为A，故不正确；由周期公式可得T=，故f（x）的最小值正周期为，正确；取=3时，f（0）=A，f（）=0，故不正确；由f（x）在区间，上是单调的，可得，即08，若f（x）的图象的一条对称轴是直线x=，则+=k+，即=4k+1，kz；故不正确若f（）=f（），则f（x）的图象关于直线x=对称，故正确故答案为：点评：本题主要考查正弦函数的最值、周期性、图象的对称性、单调性，属于基本知识的考查三、解答题：共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤16在
15、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，sinA=，=3（）求b和c，（）求sin（AB）的值考点：三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数 专题：解三角形分析：（）由条件利用余弦定理、两个向量的数量积的定义，分别得到一个等式，列方程组求得b、c的值（）由条件利用正弦定理求得sinB 的值，再利用同角三角函数的基本关系求出cosB的值，再利用两角差的正弦公式求得 sin（AB）的值解答：解：（）ABC中，sinA=，=3，可得A为钝角，故cosA=，且bc（）=3 再根据a=2，利用余弦定理可得 a2=24=b2+c2+=（b+c）2 由求得b=c=3，（）由b=c=3，a=2
16、，可得B=C，再由正弦定理可得 =，即，求得sinB=，cosB=，sin（AB）=sinAcosBcosAsinB=（）=点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，两个向量的数量积的定义，属于基础题17某超市在一次促销活动中，设计一则游戏：一袋中装有除颜色完全相同的2各红球和4个黑球规定：从袋中一次模一球，获二等奖；从袋中一次摸两球，得一红，一黑球或三等奖，得两红球获一等奖，每人只能摸一次，且其他情况没有奖（）求某人一次只摸一球，获奖的概率；（）求某人一次摸两球，获奖的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：本题是一个
17、古典概型，根据古典概型的概率公式求解即可解答：解：（）因为六个球中共有2个红球，故某人一次摸一球获奖的概率是p=（）将六个球分别记为a，b，c，d，m，n，其中m，n两个是红球，从这袋中任取两球取法有（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），（c，d），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），（m，n），共15种，其中含红球的有9种，故求某人一次摸两球，获奖的概率是点评：本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题18已知数列an是等差数列，a1=6，a3，a5，a6成等比数列且互不相等（）求数列an的通项公式；（）设数列
18、an的前n项和为Sn，k是整数，若不等式Snan对一切nk的正整数n都成立，求k的最小值考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（）设出等差数列的公差，由a3，a5，a6成等比数列列式求得等差数列的公差，则等差数列的通项公式可求；（）求出等差数列的前n项和，由Snan求得n的范围，再结合不等式对一切nk的正整数n都成立求得k的最小值解答：解：（）设数列an的公差为d由已知得，即（6+4d）2=（6+2d）（6+5d），解得：d=0（舍去）或d=1，故an=6+（n1）1=n7；（）不等式Snan，等价于n215n+140，解得n1或n14，nN又对一切nk的正整数n都成
19、立，正整数k的最小值为15点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是中档题19四棱锥PABCD中，DCAB，AB=2DC=4，AC=2AD=4，平面PAD底面ABCD，M为棱PB上任一点（）证明：平面MAC平面PAD；（）若PAD为等边三角形，平面MAC把四棱锥PABCD分成两个几何体，当着两个几何体的体积之比VMACD：VMABC=11：4时，求的值考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（）由勾股定理可得ACAD，进而由面面垂直的性质得到：AC平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到：平面MAC平面PAD；（）取AD的中点E，连接P
20、E，BE，易证平面PBE平面ABCD，过M作MNBE于点N，则MN平面ABCD，由VMACD：VMABC=11：4可得：VMABCD：VMABC=15：4，进而可得MN的长，最后由在PAE中，=得到答案解答：证明：（）在ACD中，由AC=2AD=4，2DC=4，可得：AC2+AD2=CD2，ACAD，平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCD=AD，AC底面ABCD，AC平面PAD，又AC平面MAC，平面MAC平面PAD；解：（）取AD的中点E，连接PE，则PEAD，则PE平面ABCD，且PE=，连接BE，则平面PBE平面ABCD，过M作MNBE于点N，则MN平面ABCD，SACD=ACA
21、D=24=4，SABC=ACABsinBAC=44=8，故VpABCD=（SACD+SABC）PE=（4+8）=4，VMABC=SABCMN=，由VMACD：VMABC=11：4得：VMABCD：VMABC=15：4，即4：=15：4，解得：MN=在PAE中，=点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键20已知椭圆C：+=1（ab0）的右焦点为F，离心率为，长轴长小于4，点A在直线x=2上，且FA的最小值为1（1）求椭圆C的方程；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限内的点，O是坐标原点，直线OP与椭圆C的另
22、一交点为Q，点T在C上，且PTPQ；若PT的斜率为k，QT的斜率为k1，问kk1是否为定值，若为定值，求出kk1；若不是定值，说明理由若QT交x轴于M，求PQM的面积的最大值，并写出此时T点的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出右焦点，运用离心率公式，得到b=c，由点到直线的距离公式，得到方程，解得即可得到c，再由a，b，c的关系，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（2）运用斜率公式和点差法，即可得到定值；运用直线方程，求出M，再由面积公式，即可得到PQM的面积，再由椭圆的参数方程，结合二倍角公式，即可得到最大值，进而得到点P的
23、坐标，再由PT的方程，联立椭圆方程，即可解得交点T解答：解：（1）设右焦点为F（c，0），由于离心率为，则b=c，a=c，由于长轴长小于4，即a2由于点A在直线x=2上，且FA的最小值为1，则|c2|=1，解得，c=3或1由于c2，则c=1，a=，b=1，则椭圆方程为：=1；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限内的点，则x02+2y02=2，直线OP与椭圆C的另一交点为Q，则为Q（x0，y0），设T（x1，y1），则k=，k1=，则kk1=由于x02+2y02=2，x12+2y12=2，两式相减可得，（x12x02）+2（y12y02）=0，则有kk1=，则kk1为定值，且为；直线OP的
24、方程为：y=x，k=，直线QT：y+y0=（x+x0），令y=0，则x=2ky0x0=x0，即M（x0，0），则PQM的面积为POM和QOM的面积之和，即为S=x0（y0+y0）=x0y0，由椭圆方程的参数式，x0=cos，y0=sin，则有S=，当sin2=1，即有，x0=1，y0=，即P（1，），由PT：y=（x1），联立椭圆方程：=1，解得T（，）此时PQM的面积的最大值为点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式及运用，考查联立直线方程和椭圆方程求交点，运用点差法求斜率之积，考查运算能力，属于中档题21已知函数f（x）=x3+x2+|xa|（a是常数，且a）（）讨论f（x）的单
25、调性；（）当2x1时，f（x）的最小值为g（a），求证：对任意x2，1，f（x）g（a）+9成立考点：函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（）去绝对值，通过求导，判断导数符号从而判断f（x）的单调性，并最后得出：a1时，f（x）在R上是增函数；1a时，f（x）在（，1），a，+）上是增函数，在（1，a）上是减函数；（）根据上面的结论，分别求在a1，1a时的最小值g（a），和最大值，只要证明g（a）+9大于等于f（x）的最大值即可解答：解：（）当xa时，f（x）=x3+x2+xa，f（x）=3x2+2x+10；此时f（x）是增函数；当xa时
26、，f（x）=x3+x2x+a，f（x）=3x2+2x1；解3x2+2x1=0得，x=1，或；x1，或x时，f（x）0，此时f（x）是增函数；1x时，f（x）0，此时f（x）是减函数；当a1时，f（x）在（，+）上是增函数；当时，f（x）在（，1），a，+）上是增函数，在1，a）上是减函数；（）由（）知，（1）当a1时，f（x）在2，1上是增函数；g（a）=f（2）=|a+2|4；最大值为f（1）=2+|1a|=3a；当2a1时，a+20，2a+40；g（a）+9f（x）g（a）+9f（1）=a+73+a=2a+40；对任意x2，1，f（x）g（a）+9；当a2时，a+20；g（a）+9f（x）g（a）+9f（1）=a+33+a=0；对任意x2，1，f（x）g（a）+9；（2）当1a时，f（x）在2，1，a，1上是增函数，在1，a上是减函数；f（a）f（2）=a3+a2+2a=a2（a+1）+（2a）0；f（1）f（1）=3a1a=22a=2（1a）0；g（a）=a2，最大值为f（1）=3a；g（a）+9f（x）g（a）+9f（1）=a+73+a=2（a+2）0；对任意x2，1，f（x）g（a）+9；由（1）（2）知对任意x2，1，f（x）g（a）+9成立点评：考查处理含绝对值函数的方法：去绝对值，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，根据函数的单调性求函数的最值
