1、第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 学 习 目 标核 心 素 养 1了解条件概率的概念2 掌 握 求 条 件 概 率 的 两 种 方法(难点)3能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题(重点)1通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养2借助条件概率公式解题，提升数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1条件概率的概念一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)_为在发生的条件下，事件 B 发生的条件概率P(B|A)读作A 发生的条件下 B 发生的概率事件APABPA2条件概率的性质(1)0P(B|A)1；(2)如果 B 与 C 是两个互
2、斥事件，则 P(BC|A)_P(B|A)P(C|A)1若 P(AB)35，P(A)34，则 P(B|A)()A.54 B.45C.35D.34B 由公式得 P(B|A)PABPA 353445.2下面几种概率是条件概率的是()A甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C有 10 件产品，其中 3 件次品，抽 2 件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率B 由条件概率的定义知 B 为条件概率3设某动物
3、由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4，现有一个 20 岁的这种动物，则它活到 25 岁的概率是_0.5 根据条件概率公式知 P0.40.80.5.合 作 探 究 释 疑 难 利用定义求条件概率【例 1】一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为 A；事件“第二次抽到黑球”为 B.(1)分别求事件 A，B，AB 发生的概率；(2)求 P(B|A)解 由古典概型的概率公式可知(1)P(A)25，P(B)213254 82025，P(AB)2154 110.(2)P(B|A)PABPA 1102514.1用定义法求条件
4、概率 P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算 P(A)，P(AB)；(3)代入公式求 P(B|A)PABPA.2在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件 A，B 的概率，从而求出 P(B|A)，揭示出 P(A)，P(B)和 P(B|A)三者之间的关系跟进训练1.如图，EFGH 是以 O 为圆心，1 为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形 HOE(阴影部分)内”，则 P(A)_，P(B|A)_.2 14 因为圆的半径为 1，所以圆的面积 Sr2，正方形EFGH 的面积为2r222，所以
5、P(A)2.P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形 EFGH 中，则豆子落在扇形 HOE(阴影部分)”的概率，所以 P(B|A)14.缩小基本事件范围求条件概率【例 2】集合 A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率解 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个，在这 15 个
6、中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P 91535.1(变结论)在本例条件不变的前提下，求乙抽到偶数的概率解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P 91535.2(变条件)若甲先取(放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数大于 4”；事件 B：“甲、乙抽到的两数之和等于 7”，求 P(B|A)解 甲抽到的数大于 4 的情形有：(5,
7、1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形有：(5,2)，(6,1)，共 2 个所以P(B|A)21216.利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件 A，原来的事件 B 缩小为 AB.而 A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(B|A)nABnA，这里 n(A)和 n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的求互斥事件的条件概率
8、探究问题先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现 4 点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于 4 点”的概率？提示 设第一枚出现 4 点为事件 A，第二枚出现 5 点为事件 B，第二枚出现 6 点为事件 C，则所求事件为 BC|A.P(BC|A)P(B|A)P(C|A)161613.【例 3】在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球，2 个黄球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸 2 个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率解 法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件 A，“摸出第二个球为黄球”为事件 B，“摸出第三个球为黑球”为事件 C.则 P(A)1
9、10，P(AB)12109 145，P(AC)13109 130.所以 P(B|A)PABPA 145 11029，P(C|A)PACPA 130 11013.所以 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)291359.所以所求的条件概率为59.法二：(直接法)因为 n(A)1C199，n(BC|A)C12C135，所以 P(BC|A)59.所以所求的条件概率为59.1利用公式 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与 C 互斥”2为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件
10、的概率跟进训练2在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道题即可通过；若至少能答对其中的 5 道题就获得优秀已知某考生能答对其中的 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解 设事件 A 为“该考生 6 道题全答对”，事件 B 为“该考生答对了其中的 5 道题而另 1 道题答错”，事件 C 为“该考生答对了其中的 4 道题而另 2 道题答错”，事件 D 为“该考生在这次考试中通过”，事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则 A，B，C两两互斥，且 DABC，EAB，由古典概型的概率公式及加法公式可知 P(D)P(ABC)
11、P(A)P(B)P(C)C610C620C510C110C620 C410C210C620 12 180C620，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D)PAPDPBPD210C62012 180C6202 520C62012 180C6201358，即所求概率为1358.课 堂 小 结 提 素 养 对条件概率计算公式的两点说明(1)如果知道事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率，那么P(B)P(B|A)；(2)已知 A 发生，在此条件下 B 发生，相当于 AB 发生，要求 P(B|A)，相当于把 A 看作新的基本事件空间计算 AB 发生的概率，即 P(B|A)nABnA nABn
12、nAnPABPA.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若事件 A 与 B 互斥，则 P(B|A)0.()(2)若事件 A 等于事件 B，则 P(B|A)1.()(3)P(B|A)与 P(A|B)相同()答案(1)(2)(3)24 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 4 名同学无放回地抽取若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.14 B.13 C.12 D1B 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为 3 张奖券，1 张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.3把一枚硬币投掷两次，事件 A第一次出现正面，B第二次出现正面，则 P(B|A)_.1
13、2 P(AB)14，P(A)12，P(B|A)12.4盒内装有 16 个球，其中 6 个是玻璃球，10 个是木质球玻璃球中有 2 个是红色的，4 个是蓝色的；木质球中有 3 个是红色的，7 个是蓝色的现从中任取 1 个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？解 法一(定义法)由题意得球的分布如下：玻璃球 木质球 总计 红235 蓝4711 总计61016 设 A取得蓝球，B取得玻璃球，则 P(A)1116，P(AB)41614.P(B|A)PABPA 141116 411.法二(直接法)n(A)11，n(AB)4，P(B|A)nABnA 411.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
