1、基础复习课第三讲 机械能守恒定律及其应用抓基础双基夯实 研考向考点探究 栏目导航 随堂练知能提升 小题快练1判断题(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关()(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加()(3)弹力做正功，弹性势能一定增加()(4)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒()(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小()(6)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒()2关于重力势能，下列说法中正确的是()A物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C一个物体的重力势能从5 J 变化到3 J，重力
2、势能减少了D重力势能的减少量等于重力对物体做的功D 3如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 F 作用下物体处于静止状态，当撤去力 F 后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是()A弹簧的弹性势能逐渐减少B物体的机械能不变C弹簧的弹性势能先增加后减少D弹簧的弹性势能先减少后增加D 4(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()CD A甲图中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒B乙图中，A 置于光滑水平面上，物体 B 沿光滑斜面下滑，物体 B 机械能守恒C丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时 A 加速下落，
3、B 加速上升过程中，A、B 系统机械能守恒D丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒考点一 机械能守恒的判断(自主学习)1对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少2机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒(2)利用守恒条件判断(3)利用能量转化判断：若物
4、体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒11.机械能守恒的判断 在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上 30角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴 O 无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上 30角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()A甲图中小球机械能守恒B乙图中小球 A 机械能守恒C丙图中小球机械能守恒D丁图中小球机械能守恒解析：甲图
5、过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A 正确；乙图过程中轻杆对 A 的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球 A 的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B 错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C 错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D 错误答案：A12.机械能守恒的判断 把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至 A 位置，如图甲所示迅速松手后，球升高至最高位置 C(图丙)，途中经过位置 B 时弹簧正处于原长(图乙)忽略弹簧的质量和空气阻力则小球从 A 运动到 C 的过程中
6、，下列说法正确的是()A经过位置 B 时小球的加速度为 0B经过位置 B 时小球的速度最大C小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小答案：C考点二 单个物体的机械能守恒(师生共研)1机械能守恒定律的表达式2求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象物体(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式进行求解典例 如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小传送
7、带的运行速度为 v06 m/s，将质量 m1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带 A 端，传送带长度 L12.0 m，“9”形轨道全高 H0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为 R0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为 0.3，重力加速度 g10 m/s2，求：(1)滑块从传送带 A 端运动到 B 端所需要的时间；(2)滑块滑到轨道最高点 C 时受到轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道 D 点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角 45的斜面上 P 点，求 P、D 两点间的竖直高度 h(保留两位有效数字)审题指导第一步：抓关键点关键点获取信息内壁光滑的“9”形固定轨道滑块在“9”
8、形轨道内运动时机械能守恒滑块无初速地放在传送带 A 端滑块从 A 点开始做初速度为 0 的匀加速运动滑块从“9”形轨道，D 点水平抛出滑块由 D 到 P 做平抛运动，机械能守恒恰好垂直撞在倾角 45的斜面上的 P 点滑块在 P 点的速度 vP 垂直于斜面，其水平分速度为 vD第二步：找突破口(1)判断滑块在传送带上的运动时，若滑块与传送带同速时没有到达 B 点，则剩余部分将做匀速直线运动(2)在轨道的 C 点，根据 FNmgmv2CR 求滑块受轨道的作用力时，应先求出滑块到C 点的速度 vC.(3)滑块由 D 点到 P 点做平抛运动，故滑块在 P 点的速度 vP 在水平方向的分速度与在 D 点
9、的速度相等，即 vDvPsin.解析：(1)滑块在传送带运动时，由牛顿运动定律得mgma得 ag3 m/s2加速到与传送带共速所需要的时间 t1v0a 2 s前 2 s 内的位移 x112at216 m之后滑块做匀速运动的位移 x2Lx16 m时间 t2x2v01 s故 tt1t23 s.(2)滑块由 B 到 C 运动，由机械能守恒定律得mgH12mv2C12mv20在 C 点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得 FNmgmv2CR解得 FN90 N.(3)滑块由 B 到 D 运动的过程中，由机械能守恒定律得12mv2012
10、mv2Dmg(H2R)滑块由 D 到 P 运动的过程中，由机械能守恒定律得12mv2P12mv2Dmgh又 vDvPsin 45由以上三式可解得 h1.4 m.答案：(1)3 s(2)90 N(3)1.4 m反思总结应用机械能守恒定律的两点注意事项1列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同.2应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同21.与平抛运动相结合(2015海南卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧 ab 和抛物线 bc 组成，圆弧半径 Oa 水平，b 点为抛物线顶点已知 h2 m，s 2 m取重力加速度
11、大小 g10 m/s2.(1)一小环套在轨道上从 a 点由静止滑下，当其在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从 b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达 c 点时速度的水平分量的大小解析：(1)一小环套在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b 点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道 bc 重合，故有 svbt，h12gt2，从 ab 滑落过程中，根据机械能守恒定律可得 mgR12mv2b，联立三式可得 R s24h0.25 m.(2)环由 b 处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至 c 点的速度大小为 v，有 mgh12mv
12、2环在 c 点的速度水平分量为 vxvcos 式中，为环在 c 点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在 c 点的速度方向和以初速度 vb 做平抛运动的物体在 c 点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为 vxvb，竖直分量 vy为 vy 2gh因为 cos vbv2bvy2联立可得 vx2 103 m/s.答案：(1)0.25 m(2)2 103 m/s22.与圆周运动相结合(2016全国卷)轻质弹簧原长为 2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为 5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为 l.现将该弹簧水平放置，一端固定在 A 点，另一端与物块 P
13、 接触但不连接AB 是长度为 5l 的水平轨道，B 端与半径为 l 的光滑半圆轨道 BCD 相切，半圆的直径 BD 竖直，如图所示物块 P 与 AB 间的动摩擦因数 0.5.用外力推动物块 P，将弹簧压缩至长度 l，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为 g.(1)若 P 的质量为 m，求 P 到达 B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与 B 点之间的距离；(2)若 P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求 P 的质量的取值范围解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至 l 时，质量为 5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能由机械能守恒定律，
14、弹簧长度为 l 时的弹性势能为Ep5mgl设 P 的质量为 M，到达 B 点时的速度大小为 vB，由能量守恒定律得Ep12Mv2BMg4l联立式，取 Mm 并代入题给数据得vB 6gl若 P 能沿圆轨道运动到 D 点，其到达 D 点时的向心力不能小于重力，即 P 此时的速度大小 v 应满足mv2l mg0设 P 滑到 D 点时的速度为 vD，由机械能守恒定律得12mv2B12mv2Dmg2l联立式得vD 2glvD 满足式要求，故 P 能运动到 D 点，并从 D 点以速度 vD 水平射出设 P 落回到轨道 AB 所需的时间为 t，由运动学公式得2l12gt2P 落回到 AB 上的位置与 B 点
15、之间的距离为svDt联立式得s2 2l(2)为使 P 能滑上圆轨道，它到达 B 点时的速度不能小于零由式可知5mglMg4l要使 P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点 C.由机械能守恒定律有12Mv2BMgl联立式得53mM52m.答案：(1)6gl 2 2l(2)53mM52m考点三 多个物体的机械能守恒(自主学习)1多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系(3)列机械能守恒方程时，一般选用 EkEp 的形式2多物体机械能守恒问题的三点注意(1)
16、正确选取研究对象(2)合理选取物理过程(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解31.弹簧连接(2015天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了 3mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案：B32.轻杆连接(多选)(2015全国卷)如图，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套
17、在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g.则()Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功Ba 落地时速度大小为 2ghCa 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gDa 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg答案：BD33.轻绳连接(多选)(2018康杰中学模拟)如图所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为 d.现将小环从与定滑轮等高的 A 处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离
18、也为 d 时(图中 B 处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A环与重物组成的系统机械能守恒B小环到达 B 处时，重物上升的高度也为 dC小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于 22D小环在 B 处时的速度为 32 2gd解析：由于小环和重物只有重力做功，系统机械能守恒，故 A 项正确；结合几何关系可知，重物上升的高度 h(21)d，故 B 项错误；将小环在 B 处的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，其中沿着绳子方向的速度即为重物上升的速度，则 v 物v 环cos45，环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比为 21，故 C 项错误；小环和重物系统机械能守恒
19、，则 mgd2mgh12mv2环122mv2物，且 v 物v 环cos 45，解得：v 环 32 2gd，故 D 正确答案：AD1.(2018聊城一中检测)如右图所示，半径为 R 的光滑半圆轨道固定在竖直面内，半圆的圆心为 O.将一只小球从半圆轨道左端无初速度释放，恰好能到达右端与圆心 O 等高的位置若将该半圆轨道的右半边去掉，换上直径为 R 的光滑圆轨道，两个轨道在最低点平滑连接换上的圆轨道所含圆心角如下图所示，依次为 180、120、90和 60.仍将小球从原半圆轨道左端无初速度释放，哪种情况下小球能上升到与 O 点等高的高度()C 解析：由能量守恒定律可知，小球若能上升到与 O 点等高的
20、高度，则速度为零；图 A 中到达 O 点的速度至少为 gr，则 A 错误；B 中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则 B 错误；C 图中小球从轨道上竖直上抛后，到达最高点的速度为零，则 C 正确；D 图中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则 D 错误2.(多选)(2019阜阳三中模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为 m 和2m 的小球 A 和 B.支架的两直角边长度分别为 2l 和 l，支架可绕固定轴 O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示开始时 OA 边处于水平位置由静止释放，则()AA 球的最大速度为 2 glBA 球的速度最大时，两小球的总重力势能最小CA 球
21、第一次转动到与竖直方向的夹角为 45时，A 球的速度为8 21gl3DA、B 两球的最大速度之比 vAvB31BC 解析：由机械能守恒可知，A 球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以 B 正确；根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为 vAvB2ll21，故 D 错误；当 OA 与竖直方向的夹角为 时，由机械能守恒得：mg2lcos 2mgl(1sin)12mv2A122mv2B，解得：v2A83gl(sin cos)83gl，由数学知识知，当 45时，sin cos 有最大值，最大值为：vA8 21gl3，所以 A 错误，C 正确3.(2018海南矿区中学模拟)如图所示，质量 m50 kg 的跳水运动员从距水面高 h10 m 的跳台上以 v05 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中若忽略运动员的身高取 g10 m/s2，求：(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；(2)运动员起跳时的动能；(3)运动员入水时的速度大小解析：(1)取水面为参考平面，人的重力势能是Epmgh5 000 J；(2)由动能的公式得：Ek12mv20625 J；(3)在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒mgh12mv212mv20，解得 v15 m/s.答案：(1)5 000 J(2)625 J(3)15 m/s
