1、考点透析23 探索开放性问题的解题策略探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不
2、考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意例1（02年上海）设函数是偶函数，则t的一个可能值是 分析与解答：函数 由此可得 点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论例3（04年上海）若干个能惟一确定一个
3、数列的量称为该数列的“基本量”设是公比为q的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组（写出所有符合要求的组号）S1与S2；a2与S3；a1与an；q与an(其中n为大于1的整数，Sn为的前n项和)思路分析：研究能否由每一组的两个量求出的首项和公比解：（1）由S1和S2，可知a1和a2由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得，满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量（3）由a1与an，可得，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量（4）
4、由q与an，由，故数列能够确定，是数列的一个基本量故应填、评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证法在解题中起着重要的作用xyO
5、AB图4例4（05年广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由O例5（06年福建）已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由问题4：条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段一般的解题的
6、思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力例6（99年全国）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断： mn n m以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证解：依题意可得以下四个命题：(1)mn， ， n m；(2)mn， ， mn；(3)m， n， m ；(4)，n，mmn不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题故填上命题(3)或(4)点评：本题的条件和结论都 不是固定的
7、，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的例7（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题若函数的图象与的图象关于 对称，则函数= （注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）五、规律探究型 这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高例8：（06年上海春）已
8、知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 思路分析：，由此得到解：（1） （2）， 当时， （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等 专题小结1、 条件探索型题目，其结论明
9、确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件2、 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证法在解题中起着重要的作用4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高
