1、51平行关系的判定 预习课本P2931，思考并完成以下问题(1)直线与平面平行的判定定理是什么？它的作用是什么？ (2)平面与平面平行的判定定理是什么？它的作用是什么？ 1直线与平面平行的判定定理(1)文字语言：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(2)符号语言：若l ，b，lb，则l.(3)图形语言：如图所示(4)作用：证明直线与平面平行点睛判定直线a和平面平行时，必须具备三个条件：直线a在平面外，即a；直线b在平面内，即b；两直线a，b平行，即ab.这三个条件缺一不可，此定理可简记为：线线平行线面平行2过平面外一点有无数条直线与这个平面平行3平面与平面平行的判定定
2、理(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)符号语言：若a，b，abA，并且a，b，则.(3)图形语言：如图所示点睛(1)判定平面与平面平行时，必须具备两个条件平面内两条相交直线a，b，即a，b，abP.两条相交直线a，b都与平面平行，即a，b.(2)体现了转化思想：将证明面面平行的问题转化为证明线面平行(3)此定理可简记为：线面平行面面平行1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内有无数条直线与平面平行，则.()(2)若直线l上有无数个点都在平面外，则直线l.()(3)过平面外一点P只能作一条直线与平面平行()答案：(1)(
3、2)(3)2直线l上有两点到平面的距离相等，则( )Al BlCl与相交 D以上都有可能答案：D3已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是()A平面内有一条直线与平面平行B平面内有两条直线与平面平行C平面内有一条直线与平面内的一条直线平行D平面与平面不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种故选D.直线与平面平行的判定问题典例如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且.求证：MN平面SBC.证明连接AN延长
4、交BC于P，连接SP，因为ADBC，所以，又因为，所以，所以MNSP，又MN平面SBC，SP平面SBC，所以MN平面SBC.判断或证明线面平行的两种方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)(2)判定定理法(a，b，aba)活学活用在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_ 解析：如图所示，取CD的中点E.则EMMA12，ENBN12，所以MNAB.又MN 平面ABD，MN平面ABC，AB平面ABD，AB平面ABC，所以MN平面ABD，MN平面ABC.答案：平面ABD与平面ABC平面与平面平行的判定问题典例如图所示，在三棱柱ABCA1B1
5、C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EFBC.因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1GEB，A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCH
6、G.判定面面平行的4种方法(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则；(4)利用平行平面的传递性：若，则. 活学活用如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点H，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以H是A1C的中点，连接HD，因为D为BC的中点，所以A1BDH.因为DH平面A1BD1，A1B平面A1BD1，所以DH平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1
7、BD，D1C1BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因为DC1DHD，所以平面A1BD1平面AC1D.层级一学业水平达标1能保证直线a与平面平行的条件是()Ab，abBb，c，ab，acCb，A，Ba，C，Db，且ACBDDa，b，ab解析：选D由线面平行的判定定理可知，D正确2如果两直线ab，且a，则b与的位置关系是( )A相交BbCb Db或b解析：选D由ab，且a，知b与平行或b.3已知三个平面，一条直线l，要得到，必须满足下列条件中的( )Al，l，且l Bl，且l，lC，且 Dl，且l解析
8、：选C与无公共点.4如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为( )A平行B可能相交C相交或BD平面MNPD以上都不对解析：选A因为N，P分别为线段BC，CD的中点，所以NPBD，又BD平面MPN，NP平面MPN，所以BD平面MNP.5如图，下列正三棱柱ABCA1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB平面MNP的是()解析：选C在图A、B中，易知ABA1B1MN，所以AB平面MNP；在图D中，易知ABPN，所以AB平面MNP.故选C.6已知l，m是两条直线，是平面，若要得到“l”，则需要在条件“m，lm”中另
9、外添加的一个条件是_解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l”答案：l7已知A，B两点是平面外两点，则过A，B与平行的平面有_个解析：当A，B两点在平面异侧时，不存在这样的平面当A，B两点在平面同侧时，若直线AB，则存在一个，否则不存在答案：0或18. 如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_解析：M，N分别是BF，BC的中点，MNCF.又四边形CDEF为矩形，CFDE，MNDE.又MN平面ADE，DE平面ADE，MN平面ADE.答案：平行9已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点
10、，将ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF平面ADE.证明：E，F分别为AB，CD的中点，EBFD.又EBFD，四边形EBFD为平行四边形，BFED.DE平面ADE，而BF平面ADE，BF平面ADE.10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1GGD12，ACBDO，求证：平面AGO平面D1EF.证明：设EFBDH，连接D1H，在DD1H中，因为，所以GOD1H，又GO平面D1EF，D1H 平面D1EF，所以GO平面D1EF.在BAO中，因为BEEA，BHHO，所以EHAO.又AO平面D1EF，EH平面D1EF，所以AO平面D1
11、EF，又GOAOO，所以平面AGO平面D1EF.层级二应试能力达标1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )A相交B平行C异面 D相交或平行解析：选B如图，MC1平面DD1C1C，而平面AA1B1B平面DD1C1C，故MC1平面AA1B1B.2平面与ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且ADDBAEEC，如图所示，则BC与的位置关系是()A平行 B相交C异面 DBC解析：选A在ABC中，因为ADDBAEEC，所以BCDE.因为BC，DE，所以BC.3已知直线a，b，平面，下列命题正确的是( )A若a，ba，则bB若a，b，a，b
12、，则C若，b，则bD若，a，则a解析：选D若a，ba，则b或b，故A错误；由面面平行的判定定理知B错误；若，b，则b或b，故C错误故选D.4在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A平面E1FG1与平面EGH1B平面FHG1与平面F1H1GC平面F1H1H与平面FHE1D平面E1HG1与平面EH1G解析：选A如图易证E1G1平面EGH1，G1F平面EGH1.又E1G1G1FG1，E1G1，G1F平面E1FG1，所以平面E1FG1平面EGH1.5正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是_解析：如图所示，连接BD
13、交AC于点O，连接OE，在正方体中容易得到点O为BD的中点又因为E为DD1的中点，所以OEBD1.又OE平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.答案：平行6如图是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM平面ADNE；CN平面ABFE；平面BDM平面AFN；平面BDE平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图： 则易判定四个命题都是正确的答案：7如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点，求证：平面CEM平面BFN.证明：因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图，连接CD1，A1B，易
14、知FNCD1.同理，MEA1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以MENF.连接MD1，同理可得MD1BF.又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM平面BFN.8在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论解：存在取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，所以MD綊OE.连
15、接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.52平行关系的性质预习课本P3234，思考并完成以下问题(1)直线与平面平行的性质定理是什么？如何用符号语言与图形语言表示？ (2)直线与平面平行的性质定理的作用是什么？应用此定理时需具备几个条件？ (3)面面平行的性质定理是什么？怎样用符号语言描述？ (4)面面平行的性质定理的作用是什么？ 1直线与平面平行的性质文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行图形语
16、言符号语言a，a，bab点睛(1)线面平行的性质定理的条件有三个：直线a与平面平行，即a；平面，相交于一条直线，即b；直线a在平面内，即a.三个条件缺一不可(2)定理的作用：线面平行线线平行；画一条直线与已知直线平行(3)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误2平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言符号语言，a，bab点睛(1)面面平行的性质定理的条件有三个：；a；b.三个条件缺一不可(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定
17、理可用来证明线线平行1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一条直线和一个平面平行，则这条直线只和这个平面内一条直线平行()(2)若a，则在内存在直线与a平行()(3)若平面，平行，a，b，在中除了b之外还有无数条直线平行于直线a.()(4)平面，满足a，b，则ab.()答案：(1)(2)(3)(4)2平面与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是( )A平行 B相交C异面 D平行或异面答案：A3如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF平面ABC，则()AEF与BC相交BEFBCCEF与BC异面D以上均有可能答案：B4过正方体ABC
18、DA1B1C1D1的三顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是_答案：平行直线与平面平行性质的应用 典例如图，在三棱锥PABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD平面QEFGH.求证：ABGH.证明因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行利用线面
19、平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论活学活用如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：APGH. 证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO.四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的中点又点M是PC的中点，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.平面PAHG平面BDMGH，AP平面PAHG，APGH.平面与平面平行性质的应用典例如图，已知平面，P且
20、P，过点P的直线m与，分别交于A，C，过点P的直线n与，分别交于B，D，且PA6，AC9，PD8，求BD的长解因为ACBDP，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为，平面PCDAB，平面PCDCD，所以AB CD.所以，即.所以BD.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤活学活用如图所示，A1B1C1D1ABCD是四棱台，求证：B1D1BD.证明：根据棱台的定义可知，BB1与DD1相交，所以BD与B1D1共面又因为平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面ABCDBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD.平行关系的综合应用典例如图，在四棱柱ABCD
21、A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1.证明因为F为AB的中点，所以AB2AF，又因为AB2CD，所以CDAF，因为ABCD，所以CDAF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FCAD.又FC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以FC平面ADD1A1，因为CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1所以CC1平面ADD1A1.又FCCC1C，所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.1空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
22、2证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理3证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的判定定理；(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 活学活用如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点求证：MN平面ADD1A1.证明：如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，因为MKAD，NKDD1，所以MK平面ADD1A
23、1，NK平面ADD1A1.又MK NKK，MK，NK平面MNK，所以平面MNK平面ADD1A1.因为MN平面MNK，所以MN平面ADD1A1.层级一学业水平达标1已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A平行B相交C异面 D不确定解析：选A由面面平行的性质定理可知选项A正确2若直线l平面，则过l作一组平面与相交，记所得的交线分别为a，b，c，那么这些交线的位置关系为()A都平行B都相交且一定交于同一点C都相交但不一定交于同一点D都平行或交于同一点解析：选A因为直线l平面，所以根据直线与平面平行的性质知la，lb，lc，所以abc，故选A.3已
24、知直线a平面，直线b平面，则()Aab Ba与b异面Ca与b相交 Da与b无公共点解析：选D由题意可知a与b平行或异面，所以两者无公共点4已知平面平面，a，b，则直线a，b的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或异面解析：选D平面平面，平面与平面没有公共点a，b，直线a，b没有公共点，直线a，b的位置关系是平行或异面5. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则ABC与ABC面积的比为()A25 B38C49 D425解析：选D平面平面ABC，平面PABAB，平面PAB平面ABCAB，ABAB.又PAAA23，A
25、BABPAPA25.同理BCBCACAC25.ABC与ABC相似，SABCSABC425.6. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD的中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC的中点，EFAC.答案：7过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条解析：记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，
26、E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条答案：68已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若a，b，且ab，则；若a，b相交且都在，外，a，b，则；若a，a，则；若a，a，b，则ab.其中正确命题的序号是_解析：错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；正确，由线面平行的性质定理可知答案：9如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以BCAD，因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.因为平面BCF
27、E平面PADEF，所以BCEF.因为ADBC，ADEF，所以BCEF，所以四边形BCFE是梯形10如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M平面BC1N，AC平面BC1NN.求证：N为AC的中点证明：平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1MAM，平面BC1N平面ACC1A1C1N，C1NAM，又ACA1C1，四边形ANC1M为平行四边形，ANC1MA1C1AC，N为AC的中点层级二应试能力达标1若平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中( )A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线解
28、析：选D因为a与B确定一个平面，该平面与的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条 2如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是()A异面B平行C相交 D以上均有可能解析：选B因为A1B1AB，AB平面ABC，A1B1平面ABC，所以A1B1平面ABC.又A1B1平面A1B1ED，平面A1B1ED平面ABCDE，所以DEA1B1.又ABA1B1，所以DEAB.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是( )A矩形 B菱形C平行四边形 D正方形解析：选C因为平面和左右
29、两个平行侧面分别交于ED1，BF，所以ED1BF，同理D1FEB，所以四边形D1EBF是平行四边形4在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD平面EFGH时，下列结论中正确的是()AE，F，G，H一定是各边的中点BG，H一定是CD，DA的中点CBEEABFFC，且DHHADGGCDAEEBAHHD，且BFFCDGGC解析：选D由于BD平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BDEH，BDFG，则AEEBAHHD，且BFFCDGGC.5.如图，四边形ABDC是梯形，ABCD，且AB平面，M是AC的中点，BD与平面交于点N，AB4，CD6，则MN_.解析：AB平
30、面，AB 平面ABDC，平面ABDC平面MN，ABMN.又M是AC的中点，MN是梯形ABDC的中位线，故MN(ABCD)5.答案：56如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACm，BDn，则当四边形EFGH是菱形时，AEEB_.解析：因为AC平面EFGH，所以EFAC，HGAC.因为BD平面EFGH，所以EH BD，FGBD.所以EFHGm，EHFGn.因为四边形EFGH是菱形，所以mn，所以AEEBmn.答案：mn7如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中
31、点记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明证明：直线l平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l平面PAC.8如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解：存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1.因为AB的中点为E，连接EF，则EFAB1，B1C1AB1B1，DFEFF，所以平面DEF平面AB1C1.又DE平面DEF，DE平面AB1C1.
