1、第 41 讲 简单的线性规划问题【学习目标】1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决2掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合 1在坐标平面内，不等式组y2|x|1，yx1所表示的平面区域的面积为()A2 2B.83C.2 23D2【解析】作出不等式组所表示的可行域(如图)，通过解方程可得 A23，13，B(2，3)，C(0，1)，E(0，1)，如图可知，SABCSACESBCE12|CE|(xBxA)83.B2设变量 x，y 满足
2、xy10，0 xy20，0y15，则 2x3y 的最大值为()A20 B35 C45 D55【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5，15)时 2x3y 的值最大，此时2x3y55.D3在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为()A2 B1C13D12【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当 M 位于 C 点时 OM 斜率最小，且为13，故选 C 项 C4某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900名客人旅行，A、B 两种车辆
3、的载客量分别为 36 人和60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7辆，则租金最少为()A31 200 元B36 000 元C36 800 元D38 400 元C【解析】设需 A，B 型车分别为 x，y 辆(x，yN)，则 x，y 需满足36x60y900，yx7，xN，yN，设租金为 z，则 z1 600 x2 400y，画出可行域如图阴影部分所示，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为 x5，y12，此时 z 最小等于 36 800，故选 C.【知识要点】1二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不
4、等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，_边界直线不等式 AxByC0 所表示的平面区域(半平面)_边界直线(2)在平面直角坐标系中，设直线 AxByC0(B 不为0)及点 P(x0，y0)，则若 B0，Ax0By0C0，则点 P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式 AxByC0 表示直线 AxByC0 的上方的区域若 B0，Ax0By0C0，则点 P 在直线的下方，此时不等式 AxByC0)、x 3y0 和 y0 所围成的封闭三角形(包括边界)，如图中阴影部分又知直线x 3y0 过点 A(5 3，5)，所以|OA|10，外接圆直
5、径 2R20.(2)已知点 A(5 3，5)，直线 l：xmyn(n0)过点A.若可行域xmyn，x 3y0，y0的外接圆的直径为 20，则 n的值是()A5 B10 C5 3D10 3D设直线 l 的倾斜角为，则由正弦定理，得10sin（）20，所以 sin 12，tan 33.由 tan 1m，得1m 33，即 m 3.将点 A(5 3，5)代入直线 x 3yn，得 5 3 35n，解得 n10 3，n0(舍去)故选 D.【解析】作不等式组 ab4c，3ab5c，bceac，表示的平面区域如图所示 又 kba表示平面区域内的动点 P(a，b)与原点 O(0，0)连线的斜率 由ab4c，3a
6、b5c，得 ac2且 b72c，即 Ac2，72c，(3)已知正数 a、b、c 满足约束条件ab4c，3ab5c，bceac，其中 c 为参数，求ba的取值范围OA 的斜率最大，即ba max7，设点 Bx0，cex0c 是函数 bceac图象上任意一点 则曲线 bceac的切线 OB 的斜率最小 又 bceac1ceac，kOBb|ax0ex0c，又 kOBcex0cx0.cex0cx0ex0c，从而 x0c，则点 B(c，ce)经检验知，点 B(c，ce)在可行域，此时，kOBex0c ecce.因此ba minkOBe.所以ba的取值范围为e，7四、简单线性规划的实际应用问题例4某工厂生
7、产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是优等品，其余是一等品已知甲产品为优等品概率比乙产品为优等品的概率多 0.25，甲产品为一等品的概率比乙产品为优等品的概率少 0.05.(1)分别求甲、乙产品为优等品的概率 P1，P2；(2)已知生产一件产品需要的工人数和资金数如下表所示，且该厂有工人 32 名，可用资金 55 万元，设 x，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y 为何值时，zxP1yP2 最大，最大值是多少？项目用量产品 工人(名)资金(万元)甲420乙85【解 析】(1)依 题 意 有：P1P20.251P1P20.05 P10.65P20.4.则甲产品为优等品的概
8、率为 0.65，乙产品为优等品的概率为 0.4.(2)依题意 x，y 满足的条件为：4x8y3220 x5y55x0y0，且 z0.65x0.4y，作出以上不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分，包括边界)，即可行域 作直线 l：0.65x0.4y0 即 13x8y0.把直线 l向上方平移到 l1 的位置时，直线经过可行域中的点 M，此时 z 取最大值 解方程组4x8y3220 x5y55得 x2，y3.故 M 的坐标为(2，3)，所以 zmax0.6520.432.5.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么；(2)转化设元，写出
9、约束条件和目标函数；(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答就应用题提出的问题作出回答 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划来年需要注意简单的线性规划求最值问题备选题例5设函数 f(x)x33bx23cx 有两个极值点 x1，x2，且 x11，0，x21，2(1)求 b，c 满足的约束条件，并在上图的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；(2)证明：10f(x2)12.【解析】(1)f(x)3x26bx3c，依题意知，方程f(x)0 有两个根 x1，x2，且 x11，0，x21，2等价于 f(1)0，f(0)0，f(1)0，f(2)
10、0.由此得 b，c 满足的约束条件为c2b1，c0，c2b1，c4b4.满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分 【点评】本题主要考查导数、线性规划等基础知识和数形结合的思想(2)证明：由题设知 f(x2)3x226bx23c0，故 bx212x2212c，于是 f(x2)x323bx223cx212x323c2 x2.由于 x21，2，而由(1)知 c0，故43cf(x2)1232c.又由(1)知2c0，所以10f(x2)12.1二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用 ykxb 表示的直线将平面分成上下两部分不等式区 域ykxb表示直线上方的半平面区域ykxb表示直线
11、下方的半平面区域第二种：用 AxByC0(B0)表示的直线将平面分成上下两部分(B0 读者完成)不等式B0B0AxByC0表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域AxByC0表示直线下方的半平面区域表示直线上方的半平面区域联系：将 AxByC0 表示的直线转化成 ykxb 的形式即是第一种第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括2线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；移：由 zaxby 变形为 yabxzb，所求 z的最值可
12、以看成是求直线 yabxzb在 y 轴上的截距的最值(其中 a，b 是常数，z 随 x，y 的变化而变化)，将直线 axby0 平移，在可行域中观察使zb最大(或最小)时所经过的点；求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；答：写出最后结论(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解1(2014 安徽)x，y 满足约束
13、条件xy20，x2y20，2xy20.若zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A.12或1 B2 或12C2 或 1 D2 或1D【解析】解法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A(0，2)，B(2，0)，C(2，2),则 zA2，zB2a，zc2a2.要使对应最大值的最优解有无数组，只要 zAzBzC 或 zAzCzB 或 zBzCzA，解得 a1 或 a2.解法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，zyax 可变为 yaxz，令 l0：yax，则由题意知 l0AB 或 l0AC，故 a1 或 a2.2 (2014 山 东)已 知 x，y 满 足 约 束 条 件xy1
14、0，2xy30，当目标函数 zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值 2 5时，a2b2 的最小值为()A.5 B.4 C.5D.2【解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)显然，当目标函数 zaxby 过点A(2，1)时，z 取得最小值，即 2 52ab，所以 2 52ab，所以 a2b2a2(2 52a)25a28 5a20，构造函数 m(a)5a28 5a20(5a0)，利用二次函数求最值，显 然 函 数 m(a)5a2 85 a 20 的 最 小 值 是4520（8 5）2454，即 a2b2 的最小值为 4.故选 B.B1不等式组xy50，ya，0 x3表示的平面区域是一个
15、三角形，则 a 的取值范围是()Aa5 Ba8C5a8 Da5 或 a8【解析】如图，xy50，x0的交点为(0，5)，xy50，x3的交点为(3，8)，5a8.C2如果点(1，b)在两条平行直线 6x8y10 和3x4y50 之间，则 b 应取的整数值为()A2 B1 C3 D0【解析】由题意知(68b1)(34b5)0，即b78(b2)0，78b2，b 应取的整数为1.B3已知正三角形 ABC 的顶点 A(1，1)，B(1，3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在ABC 内部，则 zxy 的取值范围是()A(1 3，2)B(0，2)C(31，2)D(0，1 3)【解析】如图，根据题意得
16、 C(1 3，2)作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和 C(1 3，2)时，zxy 取范围的边界值，即(1 3)2z13，zxy 的取值范围是(1 3，2)A4已知 O 是坐标原点，点 A(1，1)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则OA OM 的取值范围是()A1，0 B0，1C0，2 D1，2【解析】作出可行域，如图所示，OA OMxy.设 zxy，作 l0：xy0，易知，过点(1，1)时，z 有最小值，zmin110；过点(0，2)时，z 有最大值，zmax022，OA OM 的取值范围是0，2C5已知变量 x，y 满足约束条件x2y30，x3
17、y30，y10，若目标函数 zaxy(其中 a0)仅在点(3，0)处取得最大值，则 a 的取值范围为_12，【解析】由约束条件表示的可行域如图所示，作直线 l：axy0，过(3，0)点作 l 的平行线 l，则直线 l介于直线 x2y30与过(3，0)点与 x 轴垂直的直线之间，因此，a12，即 a12.6设 zkxy，其中实数 x，y 满足x2，x2y40，2xy40.若 z 的最大值为 12，求实数 k 的值【解析】作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当 0k12时，直线 ykxz 经过点 M(4，4)时 z 最大，所以 4k412，解得 k2(舍去)；当k12时，直线 ykxz 经过点 N
18、(2，3)时 z 最大，所以 2k312，解得 k92(舍去)；当k0)(2)易求 B12，3，C(1，0)，设 D(1，0)则 kDC0，kDB6，于是 yx1的取值范围是0，6 8制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解析】设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目 由题意
19、知xy10，0.3x0.1y1.8，x0，y0.目标函数 zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域 作直线 l0：x0.5y0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点 M，且与直线 x0.5y0 的距离最大，这里点 M 是直线 xy10 和 0.3x0.1y1.8的交点 解方程组xy10，0.3x0.1y1.8，得 x4，y6.此时 z140.567(万元)当 x4，y6 时 z 取得最大值 答：投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大
