1、2016-2017学年安徽省淮南二中高二（上）期中数学试卷（理创班）一、选择题1 dx=（）A2（1）B +1C1D22已知复数z满足方程=i（i为虚数单位），则=（）A +iBiC+iDi3如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（）A2：1B3：1C3：2D4：34已知复数z1=2+i，z2=1+i，则在平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和
2、为（）AB2CD6已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则若ml，则其中正确命题的个数是（）A1B2C3D47函数f（x）=alnx+x在区间2，3上单调递增，则实数a的取值范围为（）Aa3Ba2Ca3Da28某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）AT0？，BT0？，CT0？，DT0
3、？，9已知p：关于x的不等式|x2|+|x+2|m的解集是R； q：关于x的不等式x2+mx+40的解集是R则p成立是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件10用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项11已知函数g（x）是偶函数，f（x）=g（x2），且当x2时其导函数f（x）满足（x2）f（x）0，若1a3，则（）Af（4a）f（3）f（log3a）Bf（3）f（log3a）f（4a）Cf（log3a）f（3）f（4a）Df（log
4、3a）f（4a）f（3）12定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）AB（）C（，1）D（，1）二、填空题13若异面直线a、b所成的角为60，则过空间一点P且与a、b所成的角都为60的直线有条14已知函数f（x）=x3+x，对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，则x的取值范围为15如图，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影可能是（填出所有可能的序号
5、）16定义f（x）是y=f（x）的导函数y=f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；函数f（x）=x33x23x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；存在三次函数h（x），方程h（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0）为函数y=h（x）的对称中心；若函数，则=1007.5其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题17如图，在三棱
6、柱ABCA1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，BCC1=90，AB侧面BB1CC1（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EAEB1（要求说明理由）（3）在（2）的条件下，若AB=，求二面角AEB1A1的大小18已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值19设，g（x）=x3x23（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）如果存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求满足上述条件的最大整数
7、M；（3）如果对任意的，都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围20已知函数g（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且（0，），f（x）=mxlnx（mR）（）求的值；（）若f（x）g（x）在1，+）上为单调函数，求m的取值范围；（）设h（x）=，若在1，e上至少存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，求m的取值范围21已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=a+xlnb（）设h（x）=f（x）g（x），求h（x）的单调区间；（）若存在x0，使x0，且f（x0）g（x0）成立，求的取值范围2016-2017学年安徽省淮南二中高二（上）期中数学试卷（理创班）参考
8、答案与试题解析一、选择题1 dx=（）A2（1）B +1C1D2【考点】定积分【分析】先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：=cosxsinx，dx=（cosxsinx）dx=（sinx+cosx）|=+01=1故选：C2已知复数z满足方程=i（i为虚数单位），则=（）A +iBiC+iDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求【解答】解：由=i，得z+i=zi，则故选：A3如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积
9、比为（）A2：1B3：1C3：2D4：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】把直三棱柱ABCA1B1C1分割为：BAPQC，BC1QPA1，BB1A1C1，运用体积公式求解，得出结论【解答】解：设直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，连接BA1，BC1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，四棱锥的BAPQC，BC1QPA1，的底面积相等把直三棱柱ABCA1B1C1分割为：BAPQC，BC1QPA1，BB1A1C1，三棱锥的BB1A1C1为V，四棱锥BAPQC，BC1QPA1的体积之和为：VV=，四棱锥的BAPQC，BC1QPA1，的底面积，高相等四棱锥的BAPQC，BC1QPA1
10、，的体积相等，即为，棱锥BAPQC，BC1QPA1，BB1A1C1的体积相等，为，平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2：1，故选：A4已知复数z1=2+i，z2=1+i，则在平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数，化简复数可得对应的象限【解答】解：由题意可得=，故对应的点的坐标为：（，）在第四象限，故选D5如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为（）AB2CD【考点】简单
11、空间图形的三视图【分析】根据题意，画出几何体的三视图，求出三视图的面积之和即可【解答】解：如图所示，四面体A1PQD的正视图是直角梯形，如图1所示；侧视图是四边形，如图2所示；俯视图是直角梯形，如图3所示；所以三视图的面积之和为341=2故选：B6已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则若ml，则其中正确命题的个数是（）A1B2C3D4【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来【解答】解：（1）中，若，且mm，又l
12、ml，所以正确（2）中，若，且mm，又l，则m与l可能平行，可能异面，所以不正确（3）中，若ml，且m，l与可能平行，可能相交所以不正确（4）中，若ml，且ml又l，正确故选B7函数f（x）=alnx+x在区间2，3上单调递增，则实数a的取值范围为（）Aa3Ba2Ca3Da2【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间2，3上单调递增，只需f（x）0在区间2，3上恒成立，考虑用分离参数法求解【解答】解：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间2，3上单调递增，只需f（x）0在区间2，3上恒成立由导数的运算法则，f（x）=，
13、移向得，a只需大于等于x的最大值即可，由x2，a2故选D8某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）AT0？，BT0？，CT0？，DT0？，【考点】循环结构【分析】根据已知中男生平均分用变量M表示，女生平均分用变量W表示，结合满足条件时，执行对M的累加，再由男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，可得条件1，再由计算总分
14、时，W为负数（女生成绩和的相反数），可得总分表达式，进而得到答案【解答】解：根据已知中男生平均分用变量M表示，女生平均分用变量W表示可得满足条件1时，表示该分数为男生分数，又由男生的成绩用正数，故条件1为T0统计结束后，M为正数，而W为负数（女生成绩和的相反数）故此时A=故选D9已知p：关于x的不等式|x2|+|x+2|m的解集是R； q：关于x的不等式x2+mx+40的解集是R则p成立是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件【考点】绝对值不等式；一元二次不等式的解法【分析】p成立 等价于 m4，q成立 等价于4m4，故由p成立不能推出q成立，但由q成立能
15、推出p成立【解答】解：|x2|+|x+2|表示数轴上的x 到2和2的距离之和，故其最小值为4，不等式|x2|+|x+2|m的解集是R等价于 m4，即 p成立 等价于 m4关于x的不等式x2+mx+40的解集是R等价于 判别式小于0，即 m2160，即4m4故由p成立不能推出q成立，但由q成立能推出p成立，故p成立是q成立的必要不充分条件，故选 B10用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“+（n2）左边的
16、各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论【解答】解：，=故选C11已知函数g（x）是偶函数，f（x）=g（x2），且当x2时其导函数f（x）满足（x2）f（x）0，若1a3，则（）Af（4a）f（3）f（log3a）Bf（3）f（log3a）f（4a）Cf（log3a）f（3）f（4a）Df（log3a）f（4a）f（3）【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质【分析】利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，结合函数单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：（x2）f（x）0，当x2时，f（x
17、）0，此时函数单调递增当x2时，f（x）0，此时函数单调递减g（x）是偶函数，g（x）关于y轴对称，g（x）向右平移2个单位得到g（x2），此时关于x=2对称，f（x）=g（x2），f（x）关于x=2对称在f（x）=f（4x）1a3，44a64，0log3a1，则34log3a4，f（log3a）=f（4log3a），34log3a4a，即f（3）f（4log3a）f（4a），f（3）f（log3a）f（4a），故选：B12定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实
18、数a的取值范围是（）AB（）C（，1）D（，1）【考点】导数的几何意义【分析】根据题目给出的定义可得f（x1）=f（x2）=a2a，即方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围【解答】解：由题意可知，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x在区间0，a存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=f（x2）=a2a，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x，方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个不相等的解令g（x）=3x22xa2+a，（0xa）则，解得；实数a的取值范围是（，1）故选：C二、填空题13若异面直线a、b所成的角为60，
19、则过空间一点P且与a、b所成的角都为60的直线有3条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为EPD的角平分线时存在1条满足条件，则一共有3条满足条件【解答】解：先将异面直线a，b平移到点P，则BPE=60，EPD=120，且BPE的角平分线与a和b的所成角为30，而EPD的角平分线与a和b的所成角为606030，当使直线在面BPE的射影为BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线为EPD的角平分线时存在1条满足条件，直线与a，b所成的角相等且等于60有且只有3条，故答案为：31
20、4已知函数f（x）=x3+x，对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，则x的取值范围为（2，）【考点】函数恒成立问题【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（x）=（x）3+（x）=（x3+x）=f（x），所以f（x）是奇函数，又f（x）=3x2+10，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx2）+f（x）0可化为：f（mx2）f（x）=f（x），由f（x）递增知：mx2x
21、，即mx+x20，则对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，等价于对任意的m2，2，mx+x20恒成立，所以，解得2x，即x的取值范围是（2，），故答案为：（2，）15如图，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影可能是（填出所有可能的序号）【考点】平行投影及平行投影作图法【分析】根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果【解答】解：由题意知光线从上向下照射，得到，光线从前向后照射，得到光线从左向右照射得到故答案为：16定义f（
22、x）是y=f（x）的导函数y=f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”可以证明，任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；函数f（x）=x33x23x+5的对称中心也是函数的一个对称中心；存在三次函数h（x），方程h（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0）为函数y=h（x）的对称中心；若函数，则=1007.5其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用
23、三次函数对称中心的定义和性质进行判断；分别求出函数f（x）=x33x23x+5与函数的对称中心判断；求出函数的对称中心，可得g（x）+g（1x）=1，进一步求得=1007.5判断【解答】解：任何三次函数的二阶导数都是一次函数，任何三次函数只有一个对称中心，故不正确；由f（x）=x33x23x+5，得f（x）=3x26x3，f（x）=6x6，由6x6=0，得x=1，函数f（x）的对称中心为（1，0），又由，得x=k，kZ，f（x）的对称中心是函数的一个对称中心，故正确；任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，存在三次函数f（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0）为y=f（x）的对称
24、中心，即正确；，g（x）=x2x，g（x）=2x1，令g（x）=2x1=0，得x=，g（）=（）3（）2=，函数的对称中心是（，），g（x）+g（1x）=1，=1007.5，故正确故答案为：三、解答题17如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，BCC1=90，AB侧面BB1CC1（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EAEB1（要求说明理由）（3）在（2）的条件下，若AB=，求二面角AEB1A1的大小【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【分析】（1）求出平面的法向量与直线所在的
25、向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角即可（2）根据点的特殊位置设出点的坐标为E（1，y，0），再利用向量的基本运算证明两个向量垂直即可证明两条直线相互垂直（3）结合题意求出两个平面的法向量求出两个法向量的夹角，再转化为两个平面的二面角即可【解答】解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）（1）直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC的法向量，又，设BC1与平面ABC所成角为，则（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则，EAEB1，y=1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点（3）A（0，0，），则，设平面A
26、EB1的法向量m=（x1，y1，z1），则，取m=（1，1，），BEB1E，又BEA1B1BE平面A1B1E，平面A1B1E的法向量，cosm，=，二面角AEB1A1为4518已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a0时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，函数无极值，当a0时
27、，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=1（1）当a=2时，f（x）=x2lnx，f（x）=1（x0），因而f（1）=1，f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程为y1=（x1），即x+y2=0（2）由f（x）=1=，x0知：当a0时，f（x）0，函数f（x）为（0，+）上的增函数，函数f（x）无极值；当a0时，由f（x）=0，解得x=a又当x（0，a）时，f（x）0，当x（a，+）时，f（x）0从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=aalna，无极大值
28、综上，当a0时，函数f（x）无极值；当a0时，函数f（x）在x=a处取得极小值aalna，无极大值19设，g（x）=x3x23（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）如果存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的，都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；（2）存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等价于：g（x1）g
29、（x2）maxM，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出g（x1）g（x2）max，求出M的范围；（3）当时，恒成立等价于axx2lnx恒成立，令h（x）=xx2lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围【解答】解：（1）当a=2时，f（1）=2，f（1）=1，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=x+3；（2）存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等价于：g（x1）g（x2）maxM，考察g（x）=x3x23，由上表可知：，所以满足条件的最大整数M=4；（3）当时，恒成立等价于axx2lnx恒成立，记h（x）=x
30、x2lnx，h（x）=12xlnxx，h（1）=0记m（x）=12xlnxx，m（x）=32lnx，由于，m（x）=32lnx0，所以m（x）=h（x）=12xlnxx在上递减，当时，h（x）0，x（1，2时，h（x）0，即函数h（x）=xx2lnx在区间上递增，在区间（1，2上递减，所以h（x）max=h（1）=1，所以a120已知函数g（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且（0，），f（x）=mxlnx（mR）（）求的值；（）若f（x）g（x）在1，+）上为单调函数，求m的取值范围；（）设h（x）=，若在1，e上至少存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，求m的取值范围【考
31、点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由题意可知由（0，），知sin0再由sin1，结合（0，），可以得到的值（2）由题设条件知mx22x+m0或者mx22x+m0在1，+）恒成立由此知，由此可知m的取值范围（3）构造F（x）=f（x）g（x）h（x），由此入手可以得到m的取值范围是【解答】解：（1）由题意，0在1，+）上恒成立，即（0，），sin0故sinx10在1，+）上恒成立，只须sin110，即sin1，只有sin=1结合（0，），得（2）由（1），得f（x）g（x）=f（x）g（x）在其定义域内为单调函数，mx22x+m0或者mx22x+m0在1
32、，+）恒成立mx22x+m0等价于m（1+x2）2x，即，而，（）max=1，m1mx22x+m0等价于m（1+x2）2x，即在1，+）恒成立，而（0，1，m0综上，m的取值范围是（，01，+）（3）构造F（x）=f（x）g（x）h（x），当m0时，x1，e，所以在1，e上不存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立当m0时，因为x1，e，所以2e2x0，mx2+m0，所以（F（x）0在x1，e恒成立故F（x）在1，e上单调递增，只要，解得故m的取值范围是21已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=a+xlnb（）设h（x）=f（x）g（x），求h（x）的单调区间；（
33、）若存在x0，使x0，且f（x0）g（x0）成立，求的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（I）根据已知求出h（x）=f（x）g（x）的解析式，求出其导函数，分别求出导函数为正，为负时x的取值范围，进而可得h（x）的单调区间；（）根据区间的定义可得，由f（x0）g（x0），结合（I）中函数的单调性，分类讨论，最后综合讨论结果，可得的取值范围【解答】解：（1）h（x）=f（x）g（x）=xlnx+axlnbh（x）=lnx+1lnb由h（x）0得x，h（x）在（0，）上单调递减，（，+）上单调递增（2）由得7 （i）当，即时，h（x）min=h（）=+a由+a0得e，e （ii）当时，ah（x）在，上单调递增h（x）min=h（）=（lnlnb）+a（lnlnb）+a=b0不成立 （iii）当，即时，abh（x）在，上单调递减h（x）min=h（）=（lnlnb）+a（lnlnb）+a=0当时恒成立 综上所述，e7 2017年1月1日
