1、泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 1 页（共 9 页）泉州市 2022 届高中毕业班质量监测（一）2022.08数学参考答案及评分细则（第 20、21 题）评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空
2、题不给中间分。20（12 分）加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查借助视力表测量视力情况，测量值 5.0 及以上为正常视力，5.0 以下为近视现从中随机抽取 40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如下：其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为1:2，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为 3:4（1）根据频率分布直方图的数据，将下面的 22列联表补充完整，并判断是否有 90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；视力正常近视合
3、计成绩优秀成绩一般保密启用用前视力情况学习成绩泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 2 页（共 9 页）合计（2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取 3人，设近视的学生数为 X，求 X 的分布列与期望.附：22()()()()n adbcKab cdacbd，其中 nabcd.20()P Kk0.1000.0500.0100k2.7063.8416.635【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、独立性检验、二项分布、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意识等；考查必然与或然思想、统计与概率思想；体现综合性与应用性，导向对发展数学运算、数学建模、数据分析等
4、核心素养的关注【试题简析】（1）根据频率分布直方图，在抽取的 40 名学生样本中，视力正常的有 20.24016人，近视的有 401624人.1 分【列联表不全正确，但这两数据填写正确，可得 1 分】因为近视的学生中成绩优秀与成绩一般的比例是1:2，所以近视的学生中成绩优秀的有12483人，成绩一般的有 24816人；因为成绩一般的学生中视力正常与近视的比例为 3:4，所以成绩一般的学生中，视力正常的学生有316=124人根据上述信息可填写下列 22列联表：.2 分【表格填写正确】根据列联表数据可得2240(4 168 12)200.317162428 1263K，.3 分因为20.3172.
5、706K，.4 分故没有 90%的把握认为视力情况与学习成绩有关.5 分（2）以频率视为概率，可知，样本中近视的概率为 243405，视力正常的概率为 25，视力正常近视合计成绩优秀4812成绩一般121628合计162440泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 3 页（共 9 页）依题意，近视的学生数 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.6 分以样本估计总体，可知3(3)5XB，.8 分【“以样本估计总体”，1 分；“3(3)5XB，”1 分】0033328(0)()()55125P XC，11233236(1)()()55125P XC，22133254(2)()()5
6、5125P XC，33033227(3)()()55125P XC，.10 分【1 或 2 个正确得 1 分，3 或 4 个正确得 2 分】所以 X 的分布列为：X0123P812536125541252712583654272259()01231251251251251255E X （或39()355E X ）12 分【期望计算公式 1 分，计算结果 1 分】21（12 分）已知椭圆 E：222210 xyabab的左右焦点分别为12,F F，点 0,3A，直线2AF 的倾斜角为 60，原点 O 到直线2AF 的距离是234 a（1）求 E 的方程；（2）过 E 上任一点 P 作直线12,P
7、F PF 分别交 E 于,MN（异于 P 的两点），且11F MmPF，22F NnPF，探究 11mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想；体现综合性、应用性与创新性，彰显高考的选拔特点，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 4 页（共 9 页）直观想象、数学建模等核心素养的关注【试题简析】（1）解法一：点 0,3A，直线2AF 的倾斜角为 60，可得1c ，.1
8、分在2Rt AOF中，求得点O 到直线2AF 的距离是32，又已知点 O 到直线2AF 的距离是234 a，所以22a，.2分由222abc，.3分求得21b ，.4分所以，E 的方程是2212 xy.4分解法二：由点 0,3A，直线2AF 的倾斜角为 60，可得233,=1AFkcc.1分【求c得1分】由2:330AFxy，得点 O 到直线2AF 的距离32，又已知点 O 到直线2AF 的距离是234 a，所以22a，.2分由222abc，.3分求得21b ，.4分所以，E 的方程是2212 xy.4分（2）解法1：当 P 为椭圆右顶点时，1112121PFmF M，2212121PFnF
9、N，11+6mn，.5分【特例或分类分数】当 P 为椭圆左顶点时，同理可得，11+6mn.5分当 P 不为椭圆顶点，即直线,PM PN 的斜率均不为零时，设直线 PM 的方程是1xry ，直线 PN 的方程是1xsy，.6分【直线方程】分别代入椭圆方程22210 xy，得：22(2)210ryry 和22(2)210sysy.7分【方程思想与运算求解】设001122,P xyM x yN xy泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 5 页（共 9 页）则01212y yr，02212y ys.8分【根与系数关系】【说明：5分至8分的各分点，只需做出 PM、PN 中的一种情况，即
10、可对应给分】由11F MmPF，得10ymy，220011(2)yyrmy，.9分由 PM：1xry ，得001xry，所以222200001(2)=(+1)232yrxyxm，.10分由22F NnPF，仿前述过程，可得0132xn，.11分【说明：含5至10分一起，在此处直接同理得0132xn，可得第11分】所以 11=6mn，为定值.综上可得 11mn 恒为定值，且该定值为 6.12分【整合的分数】解法2：设001122,P xyM x yN xy又121,0,1,0FF，当12=0=0yy或时，0=0y，P 为椭圆的顶点，无妨设 P 为椭圆的右顶点，则1112121PFmF M，221
11、2121PFnF N，11+6mn，.5分当 P 为椭圆左顶点时，同理可得，11+6mn.5分当1=1x 时，则0=1x，无妨取2)2P（-1,，则2(1,)2M ，2(1)4PNyx：，将2(1)4PNyx：代入22210 xy，得：25270 xx，求得275x，由11F MmPF，22F NnPF，得1m ，2211(1)5715PFnF N，所以 11+6mn.6分当21x 时，同理可求得 11+6mn.6分【说明：上述四种特例情况，只要做出一种，即可得第5分】当12121,1,0,0 xxyy 时，泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 6 页（共 9 页）00111
12、1111xyPFmxyFM ，002222111xyPFnxyF N .7分直线 PM 的方程是00(1)1yyxx，.8分联立方程组220012(1).1xyyyxx，代入消元得2222000000212210 xxyyxy yy，.9分又因为点00,P xy在椭圆 E 上，所以220022xy，故22000023210 xyxy yy，因0230 x，由韦达定理，得2001023yy yx，即00123yxy.10分同理，直线 PN 的方程是00(1)1yyxx，联立方程组2200220,(1)1xyyyxx，代入消元得22000032210 xyxy yy，因0230 x，由韦达定理，得
13、2002032yy yx，即00232yxy，.11分【直接表达为，“仿前述过程，同理可得00223 yxy”，可得第11分】于是 11mn 00001223236yyxxyy，为定值.综上可得 11mn 恒为定值，且该定值为 6.12分【整合的分数】解法3：设001122,P xyM x yN xy又121,0,1,0FF，当直线 PM 的斜率不存在时，即1=1x，0=1x，泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 7 页（共 9 页）无妨取2)2P（-1,，则2(1,)2M ，2(1)4PNyx：，将2(1)4PNyx：代入22210 xy，得：25270 xx，求得275x
14、，由11F MmPF，22F NnPF，得1m ，2211(1)5715PFnF N，所以 11+6mn.5分当直线 PN 的斜率不存在时，根据图形对称性知，同理可求得 11+6mn.5分【说明：上述两种特例情况，只要做出一种，即可得第5分】当直线 PM，PN 的斜率都存在时，设:(1)PM yk x，.6分联立方程组22210(1).xyyk x ，代入消元得2222(1)20 xkx，.7分方程整理为22(21)(1)2(1)10kxx，.8分则有0121(1)(1)21xxk ，.9分由11F MmPF，得222001011011(1)1(21)(1)1(1)(1)xxPFkxmxxxF
15、M ，因直线直线 PM 过1(1,0)F，所以001ykx，所以22222200000002021(21)(1)=1)(1)(221)32(1)ykxxyxxxmx（用到 P 在椭圆 E 上，得220022xy）.10分仿前述过程，可得0132xm，.11分【说明：此处不能表述为同理可得】于是 11mn 0023236xx，为定值.综上可得 11mn 恒为定值，且该定值为 6.12分【整合的分数】泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 8 页（共 9 页）解法4：设001122,P xyM x yN xy又121,0,1,0FF，由已知11F MmPF，得11001,1,xym
16、xy，即10101 xmmxymy，亦即10101 xmmxymy，.5分又因为点11,M x y在椭圆2212 xy上，所以221122xy，.6分代入，得222001220 mmxm y，式子展开，得22222000121220mmmxm xm y，即2222000121220mmmxmxy，.7分又因为点00,P xy在椭圆2212 xy上，所以220022xy，.8分则220121210mmmxm，依题设条件，知1m ，故012210mmxm，则02310mxm，.9分同理可得02310nxn，.10分依题设条件，知0,0mn，故0132xm，0132xn，.11分【此得分点亦可这样处
17、理：消去0 x，得3123102 nmmn，即3123102 nmmn，故 6mnmn，.11分】于是 116mn，故 11mn 为定值.12分解法5：令 1m，1n，则0,0,11PFF M，22PFF N，设001122,P xyM x yN xy又121,0,1,0FF，.5分则有00111,1,xyxy；00221,1,xyxy；因此0101110 xxyy，即0101110 xxyy.6分泉州市 2022 届高中毕业班质量检测（一）数学试题第 9 页（共 9 页）由于点,P M 均在椭圆上，则220022111212xyxy，即22002222211122xyxy，.7分作差，得 201010101112 xxxxyyyy变形并将式代入，得 010101011121111xxxxyyyy，.8分于是 0111121 xx，所以0122xx，.9分又0111 xx，两式相加，得023 x，.10分同理可得032 x，.11分因此6，故 11mn 为定值.12分
