1、专题41 有关圆幂定理型压轴题【方法点拨】1.相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则.2. 切割线定理:如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则（）; 3.割线定理：如下右图，PAB、PCD为圆O的割线，则.说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是_【答案】【分析】从题中已知寻求PA、PT间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理.【解法一】由中线长公式可得，
2、则，则在中，即所以（当且仅当时取等）【解法二】BT AP，点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1，过点P作该圆的切线PC，C为切点，则PC=，由切割线定理得： 所以（当且仅当时取等）.点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.例2 在平面直角坐标系xOy中，已知C：x2(y1)25，A为C与x负半轴的交点，过A作C的弦AB，记线段AB的中点为M. 若OAOM，则直线AB的斜率为_【答案】2【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到CMA
3、B，故CMA+AOC=180o，所以A、O、C、M四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可.【解析】连结C、M，则CMAB，在四边形AOCM中，CMA+AOC=180o，故A、O、C、M四点共圆，且AC为直径.x2(y1)25中，令y=0，得x2，A（2，0），AC=5即为AOM外接圆的直径，在AOM中，由正弦定理得：OMsinA=5，而OAOM=2，所以sinA=25，所以tanA=2.故直线AB的斜率为2例3 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 【答案】yx1【分析】本题思路有下列几种：利用向量坐标设点转化，点参法；设直
4、线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；垂径定理后二次解三角形；相交弦定理；利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)由2，设BM2t，MAt.如图，过原点O作OHl于点H，则BH.设OHd，在RtOBH中，d22r25.在RtOMH中，d22OM21，解得d2，则d2，解得k1或k1.因为点A在第一象限， 2，由图知k1，所以所求的直线l的方程为yx1.【解法二】由，设BM2t，MAt 又过点M的直径被M分成两段长为、 由相交弦定理得，解之得 过原点O作OHl于点H，在RtOBH中，d22r25，解得d2，（下同解法一，略）.【
5、解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1x2，y2)，(x11，y1)因为2，所以当直线AB的斜率不存在时，不符合题意当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，联立得(1k2)y22ky4k20，则解得所以y1y2，即k21.又点A在第一象限，所以k1，即直线AB的方程为yx1.【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1x2，y2)，(x11，y1)因为2，所以即 又代入可得解得x12，代入可得y11.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为yx1.点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1. 在平面直
6、角坐标系中，是直线上的动点，以为圆心的圆，若圆 截轴所得的弦长恒为4，过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为 .2.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(m0)已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D若ABOD，则直线l1的斜率为 3. 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 4.在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且PBC的面积是PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为 5.在平面直角坐标系中，圆若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 6.已知
7、直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为 .【答案与提示】1.【答案】2.【答案】【解析一】作CEAB于点E，则 ， 由OECD是矩形，知CE2OD2，化简得， 即cosOCD，tanCOBtanOCD， 直线l1的斜率为【解析二】作CEAB于点E，则OECD是矩形设ODt(t 0)，则由切割线定理OD2OA OB得，即（）又，将（）代人得，即，直线l1的斜率为3.【答案】:【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.，即，整理化简得.过点作的垂线交于，则，得.又圆心到直线的距离，所以，.【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.由，即得三点共线（其中是的中点），且，设，思路一：垂径定理后二次解三角形，解之得.思路二：相交弦定理，解之得.4.【答案】5.【答案】 【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6.【答案】
