1、专题24 利用向量的形解题【方法点拨】向量兼具“形”与“数”，在解题中适时构造“形”，可以起到事倍功半的作用，可提高解题的迅捷度.【典型题示例】例1 在中，点满足，且对任意，恒成立，则_.【答案】【分析】设，则点P在过点B且平行于AC的直线上，而恒成立的几何意义是：过点B且平行于AC的直线上的任意一点与点A的距离以最小，根据平面几何知识知，必有，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得.【解析】根据题意，在中，点满足.设，则.对任意，恒成立，必有，即. ，.故.例2 若非零向量满足，则夹角的余弦值为_.【答案】【分析】注意到条件，构造如图所示等腰直角三角形，为底边上的中线.设，则.在，.所以夹
2、角的余弦值为. OCAB例3 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 .【答案】 【解法一】 展开得 则的最大值是.【解法二】注意到题目中两个垂直，及，利用数形结合, 如图,对应的点在圆上即可. 例4 设向量都是单位向量，则的最小值是 .【答案】【解析】如下图,设,，则在圆上，且,取中点为，则由极化恒等式得易知，所以.例5 已知向量，的夹角为135o，且，设（其中），当取最小值时，向量与的夹角大小为 .【答案】2【解析】如上图，则满足条件的点C的轨迹是过且平行于的直线由平几知识知，当取最小值时，即此时，向量与的夹角大小为2.【巩固训练】1.（2021全国新高考II卷15
3、）已知向量，则_2.已知在OAB中，OA，OB2，AOB135，P为平面OAB上一点，且()，当OP最小时，向量与的夹角为 3.已知在ABC中，AB5，AC10，点P为ABC内（包含边界）一点，且()，则的最小值为 4.已知向量，满足，则的最小值为_5.已知平面向量，（0，）满足|=1，且与-的夹角为120，则|a|的取值范围是 . 6.已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是_ .7.已知向量，满足，则的取值范围为 8.已知向量，满足，设（其中），若最小值为，向量与的夹角大小为 .9.（1）已知，若对任意，则为_三角形.（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）（2）已知，
4、若对任意，则为_三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）（3）已知，若对任意，则为_三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）10.已知向量a，b，c满足|a|b|2，|c|1，(ac)(bc)0，则|ab|的取值范围是 11. 已知a，b都是非零向量，满足|ab | a |，(ab)a0，则ab与 b的夹角大小是（ ）A45o B60o C135o D120o12.已知向量，且对任意，恒成立，则（ ）ABCD【答案与提示】1.【答案】【解析】仿例2，构造三角形，易知，而使用投影易得，故2.【答案】2【提示】解法同例5.3.【答案】3【提示】如图，AD3，PDAC，易知的最小值为34.【答案
5、】 【提示】解法同例2.5. 【答案】【解析】设，由余弦定理可知：，要求的取值范围，则将方程视为以为主元的一元二次方程，由判别式可得.6.【答案】【提示】解法同例4.7.【答案】【提示】解法同例4.8.【答案】6或56【提示】解法同例5.9.【答案】（1）直角（2）直角（3）钝角10.【答案】1，1【解析】如图，设c(1，0)，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且ACBC，则|ab|AB2MC.MO2MA2OA2，而MAMC，MO2MC24.设M(x，y)，则x2y2(x1)2y24，即x2y2x.(*)，|ab|AB2MC222.由(*)知，x，即11.|ab|1.即|ab|的取值范围为1，1.11. 【答案】C12. 【答案】C【分析】由已知两边平方得，可判断A；再由得，结合可判断B；由可判断C；由可判断D.【解析】由得，即对任意恒成立，所以，所以，所以A错误；由得，由，所以B错误；由，得，所以C正确；由，所以D错误.故选：C.
