1、专题22 三点共线充要条件的应用【方法点拨】在平面内, 是不共线向量,设，P、A、B三点共线说明：1.上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为1”,利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值.2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是“1”时，应化“1”.3.遇到条件“两条线段相交于一点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置【典型题示例】例1 在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_【答案】0或.【分析】条件中向量共起点，可联想到三点共线，但其系数和不是1，应先变形为系数和是1的情形
2、，求出.继而，在直接利用余弦定理或直接利用是等腰三角形求出其底边.【解析】可化为当，且时三点共线，故，在，.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.例2 在中，为上一点，为上任一点，若，则的最小值是（ ）A9 B10 C11 D12【答案】D【分析】使用“三点共线”的向量充要条件，探究出m、n间的等量关系，再使用基本不等式求解.【解析】因为，所以又因为B、P、E三点共线所以m3n=1所以，当且仅当时，“=”成立所以的最小值是12例3 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为_.【答案】【分析】凑系数使其代数和为1，取、，即，而可得M、E、F三点
3、共线.再由极化恒等式得（其中D是BC的中点），所以 的最小值为.例4 在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为 .【答案】【分析】设，则如图，延长至，使为求的取值范围，只需求点的轨迹.遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设中，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即的取值范围为.点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；（2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”；（3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？例5 若是锐角的外心，则.【答案】【分析】由得，将变形为.如图，
4、作，则 三点共线，且.在，故.OACBDE 例6 已知中， ,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是 .【答案】【解析】由条件 ，设，则，其系数和为1设，则，故三点共线由的最小值为，即点到的距离是故中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而. 的最小值是 .【巩固练习】1. 如图，在中，已知点是延长线上一点，点是的中点，若，且，则 .2.如图，在平行四边形中， ， 为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（ ） 3.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为 .4.在平面直角坐标系中，是圆上
5、两动点，且，点坐标为，则的取值范围为 5.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是_.6.在四边形中，.若，则 7. 在ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BEEC，AE与BD交于点O，则等于()A. B. C. D.8. 在ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设x， y(xy0)，则4xy的最小值是_9.在中，点是的三等分点，过点的直线分别交直线 于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）A1B2CD10. 已知点是的外心，且，若，则的值为 .【答案与提示】1. 【答案】【解析】因为是的中点所以，即因为三点共线，所以，.2. 【答案】A【分析
6、】从三点共线入手，将用线性表示，再转化为目标向量，比较系数即可.【解析】三点共线（其中）又，所以所以，解之得，选A.3.【答案】【解析】根据题意，的终点在线段BC上，；又O是MN的中点，的最小值是4.【答案】【简析】设，则，如图，设则，由勾股定理得，故5.【答案】【分析】由可得在线段上，故，而 ，有基本不等式立得.【解析】由，得，因为，所以在线段上所以，又因为，则（当且仅当，即P为CM中点时，“=”成立）故的最小值是6.【答案】16【解析】由中向量满足“共起点，系数和为1”联想到“三点共线”设E为上一点，且，则所以，则四边形是平行四边形，所以.7.【答案】A【解析】如图，设(0)，又，.又B，O，D三点共线，1，.8.【答案】【解析】由D为BC的中点知，又x，y(xy0)，E为AD的中点，故，M，E，N三点共线，1，4xy(4xy)2，当且仅当，即x，y时取等号4xy的最小值为.9. 【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.【解析】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，则，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为 ，则有,解可得或(舍），故，故选：B.10. 【答案】【提示】解法同例5.
