1、高考资源网（） 您身边的高考专家第16课时三角函数的应用 教学过程一、 问题情境三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题中有着广泛的应用.二、 数学运用【例1】(教材第41页例1)如图,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(例1)(1) 求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系;(2) 求该物体在t=5s时的位置.(见学生用书P31)处理建议根据物理学知识,物体做简谐运动时,离开平衡位置的位移x和时间t之间的函数关系式可设为x=Asin(t+) (A0, 0).
2、规范板书解(1) 设x和t之间的函数关系为x=3sin(t+)(0, 02),则由T=3,可得=.当t=0时,有x=3sin=3,即sin=1,又00, 02)是本题的难点.变式在上图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为5cm,周期为4s,且物体运动到平衡位置时开始计时.(1) 求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系;(2) 求该物体在t=7.5s时的位置.答案(1) x=5sint;(2)在平衡位置的左方,且距平衡位置cm处.(例2(1)【例2】(根据教材第42页例2改编)一半径为4m的水轮如图(1),水轮圆心O距离水面2m
3、,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时.(1) 将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;(2) 点P第一次到达最高点要多长时间?(3) 在点P每转动一圈过程中,有多长时间点P距水面的高度不小于(2+2)m?(见学生用书P32)处理建议引导学生合理建立坐标系,从而得到三角函数关系式.规范板书解(1) 由题意可知,水轮沿逆时针方向旋转,如图(2),建立平面直角坐标系.(例2(2)设角是以Ox为始边,OP0为终边的角.由OP在ts内所转过的角为t=t,可知以Ox为始边,OP为终边的角为t+,故P点的纵坐标为4sin,则z=4sin+2.当t=
4、0时,z=0,可得sin=-.因为-0, 0, bR)来近似描述,求A, , b的值;(2) 若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙(船底与海底的距离),试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口.1规范板书解(1)由题知,A=3, b=5, T=12,所以= .(2) 由(1)得y=3sint+5 (0t24).货船需要的安全水深为4+2.5=6.5(m),所以当y6.5时,货船就可以进港.方法一:由3sint+56.5,得sint.因为0t4,所以t,或t,解得1t5,或13t17.答:该货船可以在1:005:00和13:0017:00进入
5、港口.方法二:由3sint+5=6.5,得sint=.如图,在区间0, 12内,函数的图象与直线y=6.5有两个交点A, B,(例3)因此tA=或-tB=,解得tA=1, tB=5.在区间12, 24内,设函数的图象与直线y=6.5有两个交点C, D.由函数的周期性,易得tC=12+1=13, tD=12+5=17.答:该货船可以在1:005:00和13:0017:00进入港口.变式某港口海水的深度y(米)是时间t(时)(0t24)的函数,记为y=f(t).已知某日海水深度的数据如下:t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0
6、经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Asint+b的图象.(1) 根据以上数据,求出函数y=f(t)=Asint+b的振幅、最小正周期和表达式;(2) 一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问:它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?答案:(1)y=3sint+10 (0x24);(2)16小时.三、 课堂练习 1. 已知简谐运动f(x)=2sinx+|的图象经过点(0, 1),则该简谐运动的振幅与初相分别为2,. 2.
7、设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin (t+)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(填序号). y=12+3sint, t0, 24; y=12+3sin, t0, 24; y=12+3sint, t0, 24; y=12+3sin, t0, 24. 3. 下表中给出了在24小时内人的体温的变化(从夜间零点开始
8、计时).时间(x)024681012141618202224温度(y)36.836.736.636.736.837.037.237.337.437.337.237.036.8选用一个三角函数模型来近似地描述这些数据,则该模型为y=37+0.4cos, x0, 24.四、 课堂小结 1. 应用题的解题步骤:(1)阅读、理解所研究的实际问题;(2)构建相应的数学模型;(3)求解模型(用数学知识解题);(4)反馈.在这四步中关键是建立数学模型,这需要学生能够读懂题意,明确解决问题所需要的知识,从而建立相关的数学模型. 2. 善于根据图象得到三角函数关系式,善于从物理现象中提炼出相应的三角函数模型.高考资源网版权所有，侵权必究！
