1、高考原生态满分练3数列典例(本题满分12分)已知数列an是公比为2的等比数列,其前n项和为Sn.(1)在S1+S3=2S2+2,S3=73,a2a3=4a4这三个条件中任选一个,补充到上述题干中.求数列an的通项公式,并判断此时数列an是否满足条件P:对任意m,nN*,aman均为数列an中的项,说明理由;(2)设数列bn满足bn=nan+1ann-1,nN*,求数列bn的前n项和Tn.注:在第(1)问中,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.学生解答教师批阅分析1:先写出所选条件,再利用所选条件解题;分析2:理解通项公式的特点是判断aman是否为数列an中的项的关键点,选判断出“ama
2、n是数列an中的项”,还应具体指出选aman是数列an的第m+n-1项,选aman是数列an的第m+n+1项,否则扣2分;选判断出“a1a2不是数列an中的项”,若举出反例只有计算结果但不判断该结果不是数列中的项,或无其他判断理由均扣2分;分析3:第(2)问:两式相减得“-Tn=1+21+22+2n-1+n2n”,出现运算符号错误;分析4:第(2)问:算到-Tn=1+21+22+2n-1-n2n=(1-n)2n-1,而未得最终结果Tn=(n-1)2n+1,扣1分.满分答题高考原生态满分练3数列解 (1)选,因为S1+S3=2S2+2,所以S3-S2=S2-S1+2,即a3=a2+2,又数列an
3、是公比为2的等比数列,所以4a1=2a1+2,解得a1=1,2分所以an=12n-1=2n-1.3分此时对任意m,nN*,aman=2m-12n-1=2m+n-2.因为m+n-1N*,所以aman是数列an的第m+n-1项,5分所以数列an满足条件P.6分选,由S3=73,得a1+a2+a3=73,又数列an是公比为2的等比数列,所以a1+2a1+4a1=73,解得a1=13,2分所以an=132n-1.3分此时a1a2=29a1an,a1a2不是数列an中的项,5分所以数列an不满足条件P.6分选,因为a2a3=4a4,数列an是公比为2的等比数列,所以2a14a1=48a1.又a10,所以a1=4,2分所以an=42n-1=2n+1.3分此时对任意m,nN*,aman=2m+12n+1=2m+n+2.因为m+n+1N*,所以aman是数列an的第m+n+1项,5分所以数列an满足条件P.6分(2)因为数列an是公比为2的等比数列,所以an+1an=2,所以bn=n2n-1.7分所以Tn=120+221+322+n2n-1,2Tn=121+222+(n-1)2n-1+n2n,两式相减得-Tn=1+21+22+2n-1-n2n9分=1-2n1-2-n2n=(1-n)2n-1,11分所以Tn=(n-1)2n+1.12分
