1、题型专项练4解答题组合练(A)1.(2021福建福州一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=ccos B-bcos C.(1)求角C的大小;(2)设CD是ABC的角平分线,求证:1CA+1CB=1CD.2.(2021山东临沂三模)在数列an中,a1=1,an+1=ancan+1(c0),且a1,a2,a5成等比数列.(1)证明:数列1an是等差数列,并求an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=(4n2+1)anan+1,其前n项和为Sn,证明:Snn+1.3.(2021湖南怀化一模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为B1B的中点,F为C1D的中点,AC=A
2、B=BC=12C1C=2.(1)若M为AB的中点,求证:FM平面A1ACC1;(2)求二面角F-A1C1-B1的余弦值.4.(2021辽宁大连二模)我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级,为了更好地对比技术升级前和升级后的效果,其中甲生产线继续使用技术升级前的生产模式,乙生产线采用技术升级后的生产模式,质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品,在抽取的400件产品中,根据检测结果将它们分为“A”“B”“C”三个等级,A,B等级都是合格品,C等级是次品,统计结果如表所示:(表一)等级ABC频数20015050(表二)生产线检测结果合计合格品次品甲160乙10合计在相关政
3、策扶持下,确保每件该医疗用品的合格品都有对口销售渠道,但按照国家对该医疗用品产品质量的要求,所有的次品必须由厂家自行销毁.(1)请根据所提供的数据,完成上面的22列联表(表二),并依据=0.001的独立性检验,能否认为产品的合格率与技术升级有关?(2)在抽检的所有次品中,按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样,抽取10件该医疗用品,然后从这10件中随机抽取5件,记其中属于甲生产线生产的有X件,求X的分布列和均值.(3)每件该医疗用品的生产成本为20元,A,B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.已知甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级,用样本的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生
4、产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元,则A等级产品的出厂单价最高为多少元?附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.050.010.0050.001x3.8416.6357.87910.8285.(2021重庆二模)已知函数f(x)=ex+1+ax2+2ax(aR).(1)若f(x)在区间(-1,+)内单调递增,求a的取值范围;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1ln 2,求a的取值范围.6.(2021湖南长沙模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为72,双曲线上的点到焦点的最小距离为7-2.(1
5、)求双曲线C的方程;(2)四边形MNPQ的四个顶点均在双曲线C上,且MQNP,MQx轴,若直线MN和直线QP交于点S(4,0),四边形MNPQ的对角线交于点D,求点D到双曲线C的渐近线的距离之和.题型专项练4解答题组合练(A)1.(1)解 由a+b=ccosB-bcosC及正弦定理得sinA+sinB=sinCcosB-sinBcosC.又sin(B+C)=sin(-A)=sinA,所以sin(B+C)+sinB=sinCcosB-sinBcosC,所以2sinBcosC+sinB=0.因为B(0,),所以sinB0,所以cosC=-12.又C(0,),所以C=23.(2)证明 因为CD是AB
6、C的角平分线,且C=23,所以ACD=BCD=3.在ABC中,SABC=SACD+SBCD,则12CACBsin23=12CACDsin3+12CDCBsin3,即CACB=CACD+CDCB.两边同时除以CACBCD得1CA+1CB=1CD.2.(1)解 由a1=1,an+1=ancan+1,得1an+1=1an+c,即1an+1-1an=c,所以数列1an是等差数列,其公差为c,首项为1.因此1an=1+(n-1)c,an=11+(n-1)c.由a1,a2,a5成等比数列,得a22=a1a5,即1c+12=114c+1,解得c=2或c=0(舍去).故an=12n-1.(2)证明 因为bn=
7、4n2+14n2-1=1+2(2n-1)(2n+1)=1+12n-1-12n+1,所以Sn=b1+b2+bn=n+1-13+13-15+12n-1-12n+1=n+1-12n+1.因为12n+10,所以Sn10.828=x0.001,根据小概率值=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为产品的合格率与技术升级有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)由于抽检的所有次品中,甲、乙生产线生产的次品数的比为41,故抽取的10件中有8件是甲生产线生产的,2件是乙生产线生产的,所以X的所有可能取值为3,4,5,所以P(X=3)=C83C22C105=29,P(X=4)=C84C21C105=
8、59,P(X=5)=C85C105=29,所以X的分布列为X345P295929所以E(X)=329+459+529=4.(3)甲生产线抽检的产品中有70件A等级,90件B等级,40件C等级,乙生产线抽检的产品中有130件A等级,60件B等级,10件C等级.用样本的频率估计概率,则技术升级前,单件产品的利润(单位:元)为m70200+4090200-20=720m-2,技术升级后,单件产品的利润(单位:元)为m130200+4060200-20=1320m-8.由1320m-8-720m-29,解得m50.故A等级产品的出厂单价最高为50元.5.解 (1)由题意知f(x)=ex+1+2ax+2
9、a0在区间(-1,+)内恒成立,即2a-ex+1x+1在区间(-1,+)内恒成立.令h(x)=-ex+1x+1(x-1),则h(x)=-ex+1x(x+1)2,由h(x)0,得-1x0;由h(x)0,所以h(x)在区间(-1,0)内单调递增,在区间(0,+)内单调递减,所以h(x)h(0)=-e,所以2a-e,即a-e2.(2)由题意知,x1,x2是方程f(x)=0的两根,又f(-1)=10,故x1,x2是-ex+1x+1=2a的两根,令h(x)=-ex+1x+1,由(1)知h(x)在区间(-,-1)和(-1,0)内单调递增,在区间(0,+)内单调递减,当x-1时,h(x)的图象在x轴下方,此
10、时当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=-e,所以当2a-e,即a-e2时,方程h(x)=2a有两根x1,x2,其中-1x10x2.若x1+ln20,即-1ln2一定成立;若x1+ln20,即x1-ln2,则x2-x1ln2x2x1+ln2h(x2)h(x1+ln2),而h(x2)=h(x1)=2a,所以h(x1)h(x1+ln2)-ex1+1x1+12x1+ln2+1,即x1ln2-1,所以-ln2x1ln2时,-1x1ln2-1.所以2a=h(x1)h(ln2-1)=-2ln2,所以a0,即3m2+t24.由根与系数的关系得y1+y2=-6mt3m2-4,y1y2=3t2-123m2-4,由M,N,S三点共线知kMS=kNS,即y1x1-4=-y2x2-4,所以y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以2m(3t2-12)+(t-4)(-6mt)3m2-4=0,所以24m(t-1)3m2-4=0,即t=1,所以直线MP过定点(1,0),即D(1,0).因为双曲线C的渐近线方程为3x2y=0,所以点D到双曲线C的一条渐近线的距离为37=217,所以点D到双曲线C的渐近线的距离之和为2217.
