1、第 54 课时 带电粒子在组合场中的运动(重点突破课)基础点自主落实 必备知识1四种常见的运动模型(1)带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：(2)带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：(3)带电粒子先在磁场中做圆周运动，然后垂直进入电场做类平抛运动，如图：(4)带电粒子先在磁场中做圆周运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：2三种常用的解题方法(1)带电粒子在电场中做加速运动，根据动能定理求速度。(2)带电粒子在电场中做类平抛运动，需要用运动的合成和分解处理。(3)带电粒子在磁场中的圆周运动，可以根据磁场边界条件，画出粒子轨迹，用几
2、何知识确定半径，然后用洛伦兹力提供向心力和圆周运动知识求解。小题热身1.如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为 U1 的电场加速后，射入水平放置、电势差为 U2 的两导体板间的匀强电场中，带电粒子沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子入磁场和射出磁场的 M、N 两点间的距离 d 随着 U1 和 U2 的变化情况为(不计重力，不考虑边缘效应)()Ad 随 U1 变化，d 与 U2 无关Bd 与 U1 无关，d 随 U2 变化Cd 随 U1 变化，d 随 U2 变化Dd 与 U1 无关，d 与 U2 无关解析：带电粒子在电场中做类平抛运动
3、，可将射出电场的粒子速度 v 分解成初速度方向与加速度方向，设出射速度与水平夹角为，则有：v0v cos 而在磁场中做匀速圆周运动，设运动轨迹对应的半径为 R，由几何关系得，半径与直线 MN 夹角正好等于，则有：d2Rcos，所以 d2Rv0v，又因为半径公式RmvBq，则有 d2mv0Bq 2B2mU1q。故 d 随 U1 变化，d 与 U2无关，故 A 正确；B、C、D 错误。答案：A2.(2014海南高考)如图，在 x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外；在 x 轴下方存在匀强电场，电场方向与 xOy 平面平行，且与 x 轴成45夹角。一质量为 m、电荷量为 q
4、(q0)的粒子以初速度 v0从 y 轴上的 P 点沿 y 轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间 T0，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变。不计重力。(1)求粒子从 P 点出发至第一次到达 x 轴时所需的时间；(2)若要使粒子能够回到 P 点，求电场强度的最大值。解析：(1)带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为 R，运动周期为 T，根据洛伦兹力公式及圆周运动规律，有qv0Bmv02R T2Rv0依题意，粒子第一次到达 x 轴时，运动转过的角度为54，所需时间 t1 为 t158T，求得 t15m4qB。(2)粒子进入电场后，先做匀减速运动，
5、直到速度减小为 0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达 x 轴时速度大小仍为 v0，设粒子在电场中运动的总时间为 t2，加速度大小为 a，电场强度大小为 E，有 qEma，v012at2，得 t22mv0qE。根据题意，要使粒子能够回到 P 点，必须满足 t2T0得电场强度最大值 E2mv0qT0。答案：(1)5m4qB(2)2mv0qT0提能点(一)电场与磁场的组合提能点师生互动例 1 如图所示，M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电荷量为q，质量为 m(不计重力)，从点 P 经电场加速后，从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁
6、场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与 N 板的夹角 45，孔 Q 到板的下端 C 的距离为 L，当M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，求：考法 1 先电场后磁场(1)两板间电压的最大值 Um；(2)CD 板上可能被粒子打中区域的长度 s；(3)粒子在磁场中运动的最长时间 tm。解析(1)M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，所以圆心在 C 点，如图所示，CHQCL，故半径 r1L，又因为 qv1Bmv12r1且 qUm12mv12，所以 UmqB2L22m。(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与 CD 板相切于
7、 K 点，此轨迹的半径为 r2，设圆心为 A，在AKC 中，sin 45r2Lr2，解得 r2(21)L，即 KCr2(21)L所以 CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 sHK，即 sr1r2(2 2)L。(3)打在 QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以 tmT2mBq。答案(1)qB2L22m (2)(2 2)L(3)mBq考法 2 先磁场后电场 例 2 如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度 B2103 T；磁场右边是宽度 L0.2 m、场强 E40 V/m、方向向左的匀强电场。一带电粒子电荷量 q3.21019 C，质量 m6.41027 kg，以 v4104 m/s
8、的速度沿 OO垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。求：(1)大致画出带电粒子的运动轨迹(画在给出的图中)；(2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；(3)带电粒子飞出电场时的动能 Ek。解析(1)轨迹如图所示。(2)带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有 qvBmv2R 得 RmvqB 6.4102741043.210192103 m0.4 m(3)由动能定理得 EkEqL12mv2403.210190.2 J126.41027(4104)2 J7.681018 J答案(1)见解析图(2)0.4 m(3)7.681018 J考法 3 先后多个电磁场 例 3
9、在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界 MM、NN的宽度为 d，在边界MM左侧是竖直向下、场强为 E 的匀强电场，现有质量为 m、带电量为q 的粒子(不计重力)从 P点以大小为 v0的水平初速度射入电场，随后与边界 MM成45射入磁场，若粒子能垂直 NN边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板。(1)求出粒子进入磁场时的速度大小；(2)求匀强磁场的磁感应强度 B；(3)求金属板间的电压 U 的最小值。解析(1)轨迹如图所示，由运动的合成与分解可知：vv0cos 45 2v0。(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由运动轨迹和几何关系可知其轨
10、道半径：Rdsin 45 2d又 qvBmv2R，联立解得：Bmv0qd。(3)设金属板间的最小电压为 U，粒子进入板间电场至速度减为零的过程，由动能定理有：qU012mv2，解得：Umv02q。答案(1)2v0(2)mv0qd (3)mv02q通法归纳带电粒子在前后两个场中的运动性质一般不同，所以组合场问题才显得复杂。而联系这两种运动的关键物理量是速度，所以分析组合场问题的突破口就是分析两个场分界处的速度，包括其大小和方向。集训冲关(2017南京一模)如图所示，在以 O 为圆心的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B0.2 T。AO、CO 为圆的两条半径，夹角为 120。一个
11、质量为 m3.21026 kg、电荷量 q1.61019 C 的粒子经电场加速后，从图中 A 点沿AO 进入磁场，最后以 v1.0105 m/s 的速度从 C 点离开磁场。不计粒子的重力。求：(1)加速电场的电压；(2)粒子在磁场中运动的时间；(3)圆形有界磁场区域的半径。解析：(1)在加速电场中，由动能定理有：qU12mv2，得 U1 000 V。(2)粒子在磁场中运动周期：T2mqB，由几何关系可知粒子做圆周运动转过的角度为 60，所以粒子在磁场中运动的时间 t16T m3qB1.0106 s。(3)由洛伦兹力提供向心力得 Bqvmv2R，则粒子运动的轨道半径 RmvBq0.10 m圆形磁
12、场的半径 rRtan 300.058 m。答案：(1)1 000 V(2)1.0106 s(3)0.058 m提能点(二)磁场与磁场的组合典例(2014江苏高考)某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。装置的长为 L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为 B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为 d。装置右端有一收集板，M、N、P 为板上的三点，M 位于轴线 OO上，N、P 分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为 m、电荷量为q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成 30角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达 P 点。改变粒子入射速度的大小，
13、可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。解析(1)设粒子在磁场中的轨道半径为 r根据题意 L3rsin 303dcos 30且 hr(1cos 30)解得 h23L 3d1 32。(1)求磁场区域的宽度 h；(2)欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点，求粒子入射速度的最小变化量 v；(3)欲使粒子到达 M 点，求粒子入射速度大小的可能值。(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为 rmv2r qvB，mv2r qvB由题意知 3rsin 304rsin 30解得 vvvqBm L6 34 d。(3)设粒子经过上下方磁场共 n1 次由题意知 L(2n2)dcos 30(2n
14、2)rnsin 30且 mvn2rn qvnB，解得 vnqBm Ln1 3d(1n 3L3d 1，n 取整数)。答案(1)23L 3d1 32 (2)qBm L6 34 d (3)见解析粒子在组合磁场中运动，能够到达 M、N、P 点的入射速度的大小具有多解性。但题目的(1)、(2)问都有限制条件，使多解变成了唯一解。忽视了这一点，就很容易导致错误。集训冲关如图所示，中轴线 PQ 将矩形区域 MNDC 分成上下两部分，上部分充满垂直于纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度皆为 B。一质量为 m、电荷量为 q的带正电粒子从 P 点进入磁场，速度与边 MC 的夹角 30
15、。MC 边长为 a，MN 边长为 8a，不计粒子重力。求：(1)若要该粒子不从 MN 边射出磁场，其速度最大值是多少？(2)若要该粒子恰从 Q 点射出磁场，其在磁场中的运行时间最短是多少？解析：(1)设该粒子恰好不从 MN 边射出磁场时的轨迹半径为 r，则由几何关系得 rcos 60ra2，解得 ra。又由洛伦兹力提供向心力有 qvBmv2r，解得最大速度为 vmqBam。(2)粒子每经过分界线 PQ 一次，在 PQ 方向前进的位移为轨迹半径 R的 3倍。设粒子进入磁场后第 n 次经过 PQ 线时恰好到达 Q 点，有 n 3R8a 且 R 834.62，n 所能取的最小自然数为 5。粒子做圆周运动的周期为 T2mqB，粒子每经过 PQ 分界线一次用去的时间为t13T2m3qB。粒子到达 Q 点的最短时间为 tmin5t10m3qB。答案：(1)qBam (2)10m3qB