1、1平顶山许昌济源 2021-2022 学年高三第二次质量检测理科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1.D2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.A9.A10.D11.D12.B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.-114.4515.0 2(,)16.10114045三、解答题：共 70 分。17.解：（1）因为 2coscosbcCaA，所以2coscosbcAaC，所以2sincossincoscossinsinsinBAACACACB，（3 分）因为sin0B，所以1cos2A，因为0,A，所以3A；（6 分）（2）因为
2、1344BDBABC，所以3ADDC，所以113sin4816BCDABCSSbcAbc，（8 分）因为2222cosabcbcA，所以2216bcbcbc，当且仅当bc时等号成立，所以3316BCDSbc，（11 分）所以 BCD面积的最大值为3（12 分）18.解：（1）相关系数为212211niiinniiiixxyyrxxyy22211222211nniiiixxinnyyiiiixxxxyynssbbnssxxyy24.70.940.75,150=（6 分）故 y 与 x 线性相关较强（7 分）（2）22100(35301520)9.0917.87950504555K（11 分）所以
3、有 99.5的把握认为购买电动汽车与性别有关（12 分）19.解：（1）因为12BEEC，12DFFC，所以/EF BD，因为 EF 平面 ABD，所以/EF平面 ABD，（2 分）因为G 是 ABC的重心，12BEEC，所以 GEAB，因为GE 平面 ABD,所以/GE平面 ABD；因为GEEFE，所以平面/GEF平面 ABD（5 分）（2）因为/GE AB，所以GEBC，因为 DC 平面 ABC，所以GECD，因为,BC CD 平面 BCD，BCCDC，所以GE 平面 BCD，因为 EF 平面 BCD，所以GEEF，所以当点 P 与 E 重合时，GP 最短；（7 分）如图，在平面 ABC
4、内，作CHBC，以C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CH 为 y 轴，CD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,3,0)A，0,0,0C，0,0,2D，2(,0,0)3P，所以1(,3,0)3AP ，2(,0,2)3DP，(1,3,0)CA，(0,0,2)CD 设111(,)mx y z为平面 ADP 的一个法向量，则00m APm DP，即111113032203xyxz，令13x，得3(3,1)3m；设222(,)nxy z为平面 ADC 的一个法向量，3则00n CAn CD ，即2223020 xyz令23x，得(3,3,0)n；105 31cos,31|31123m nm nmn
5、（11 分）所以二面角 PADC的余弦值为 5 3131.（12 分）20.解：（1）抛物线2 2(0)py px 的焦点为(0,)2pF，设(,)2pN t，则(0,),(,)22ppOFONt因为1OF ON ，所以214p ，得2p 所以抛物线的方程为24xy；（4 分）（2）依据圆与抛物线的对称性，四边形 ABCD 是以 y 轴为对称轴的等腰梯形，不妨设 ABCD，,A D 在第一象限，1122(,),(,)A x yD xy，则1122(,),(,)Bx yCxy，12yy，联立222(3)52xyxpy消去 x 得2(62)40yp y，显然关于 y 的一元二次方程有互异二正根，所
6、以21212621606204pyypy y，解得1p，而0p，所以01p.(6 分)依据对称性可知，点G 在 y 轴上，可设(0,)Gt，由AGACkk得，112112ytyyxxx，所以1211211222()2yyytyypypyyp则122ty y，所以点(0,2)G；（8 分）4121111212112()22()2(2)2(2)2 2(2)22ABDABGSSSxyyxyx ypyy12212112122 2(2)2 2(22)4 22py yyypyypyyy y=(1)4 2(62)48(1)842pppppp，等号当且仅当12p 时成立，所以12p 时，S 取得最大值4（12
7、 分）21.（12 分）解：（1）当14a 时，21()sincos4f xxxxx，则1()(cos),(,)2fxxxx （2 分）令()0fx，得3x 或03x；令()0fx，得03x或 3x（4 分）所以()f x 在(,)-上的增区间为(,),(0,)33，减区间为(,0),(,)33（5 分）（2）由题知：1()sintan,(,)32 2g xxxx x (0)0g，0 x是函数()g x 的一个零点；（6 分）当(,0)2x 时，sin0,tan0 xx，()0g x所以函数()g x 在(,0)2上无零点；（7 分）当(0,)2x时，由()0g x 得3 cos10 xx 记
8、()3 cos1,(0,)2h xxxx，()3cos3 sinh xxxx，5记()cossin,(0,)2u xxxx x，则()2sincos0u xxxx，所以函数()u x 在(0,)2单调递减，又(4)2()0,()04822uu，所以存在唯一实数0(,)4 2x，使得0()0u x，且0(0,)xx时，()0u x，则()0h x，所以()h x 在0(0,)x上单调递增，0(,)2xx 时，()0u x，则()0h x，所以()h x 在0(,)2x 上单调递减；易知：03 2()()1048h xh ，又(0)10,()102hh 所以函数()h x 在0(0,)x和0(,)
9、2x 上各有一个零点，所以函数()g x 在(0,)2上有且仅有两个零点（11 分）综上：函数()g x 在(,)2 2 上有且仅有三个零点.（12 分）22.解：（1）因为直线l 的参数方程为2,2()21,2xttyt 为参数,则直线l 的普通方程为10 xy.（2 分）因为曲线C：4sin3122，则曲线C 的直角坐标方程为2244xy，即2214xy.（5 分）（2）易知，点(1,0)A在直线 l 上，直线 l 的斜率为-1，所以可设直线 l 的参数方程为621,22,2xtyt （t 为参数），代入曲线C 的直角坐标系方程得252 260tt.则 122 25tt，1 265t t
10、所以 M 对应的参数120225ttt，故21212002 26()4()|+|+|55=8|25ttttAPAQAMtt .（10 分）23.解：（1）5,2()33,215,1xxf xxxxx （2 分）由题意得22115033050 xxxxxx-+或或5111xxx -或或 不等式的解集为51(,)(,)-+（5 分）(2)若0 xR，使00()40f xax，则函数()yf x的图像与直线4yax有公共点.（6 分）直线4yax恒过点(0,4)P，令点(2,3),A 则直线 PA 的斜率4(3)10(2)2PAk ，（8 分）结合()f x 的图像可知，当12a 或1a 时，函数()yf x的图像与直线4yax有公共点，所以实数 a 的取值范围为1,(1,).2（10 分）
