1、综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在复平面内,复数z满足z(1+i)=1-2i,则z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:z(1+i)=1-2i,z=1-2i1+i=(1-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-i-2i+2i21-i2=-1-3i2=-12-32i,z=-12+32i,故z对应的点位于第二象限.故选B.2.若集合A=x|log12(2x+1)-1,集合B=x|13x-1=x-12x12,B=x|13x9=x|0x2,AB=x0x12,故选A.3.在新冠肺炎疫情防控期间,
2、某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名答案:B解析:要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,而预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05,故按第二天可接1600份订单计算.因为超市每天能完成1200份订单的配货,所以第二天志愿者需
3、完成500+(1600-1200)=900(份)订单的配货,所以至少需要志愿者90050=18(名).故选B.4.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案:C解析:设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由Venn图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.5.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logi
4、stic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)()A.60B.63C.66D.69答案:C解析:由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*-53)=119,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19-3,所以t*66.6.若将函数fx=34sin x-14cos x的图象向右平移m(0m)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.56B.6C.23D.3答案:A解析:f(x)=34sinx-14cosx=12sinx-6,图象向右平移
5、m(0m)个单位长度,得到y=12sinx-6-m的图象,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以-6-m=k,kZ,当k=-1时,m=56.7.从(3x-23x)11的展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为()A.112B.16C.211D.111答案:B解析:由题意,可得二项展开式的通项为Tr+1=C11r(3x)11-r(-23x)r=(-2)r311-rC11rx33-5r6,根据题意可得,当33-5r6为整数时,展开式的项为有理项,则r=3,9,共有2项,而r的取值共有12个,由古典概型的概率计算公式可得,所取项是有理项的概率为P=212=16,故选B.8.古希腊数学家希波克
6、拉底所研究的几何图形如图所示.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案:A解析:设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为c22,以AB为直径的圆面积为b22,以AC为直径的圆面积为a22.所以S=12ab,S=12b24+12a24-12c24-12ab=12(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,S=12c24-
7、12ab,所以S=S,由几何概型,知p1=p2.9.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.若a=3,S为ABC的面积,则S+3cos Bcos C的最大值为()A.3B.2C.2D.3答案:A解析:由cosA=b2+c2-a22bc=-3bc2bc=-32,可知A=56,又a=3,故S=12bcsinA=12asinBsinAasinC=3sinBsinC.因此S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cosBcosC取得最大值3.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于
8、点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-2答案:C解析:依题意知,f(x)=3x2+a,则13+a+b=3,312+a=k,k+1=3,由此解得a=-1,b=3,k=2,所以2a+b=1.11.定义在R上的偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,且f(-2)=1,则f(x-2)1的x的取值范围是()A.0,4B.(-,-22,+)C.(-,04,+)D.-2,2答案:A解析:偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,且f(-2)=1,不等式f(x-2)1等价于f(|x-2|)f(-2)=f(2),即|x-2|2.0x4,f(x-2)1的x的取值范围是0,4.故选A.12.
9、0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足ai0,1(i=1,2,),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an,C(k)=1mi=1maiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010B.11011C.10001D.11001答案:C解析:周期为5,m=5.C(k)=1mi=1maiai+k=15i=15aiai+k(k=1,2,3
10、,4).C(k)15(k=1,2,3,4),i=15aiai+k1(k=1,2,3,4).将选项代入验证可知,只有选项C符合题意.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=x2-1,x2,log2x,0x2,若f(m)=3,则实数m的值为.答案:2解析:当m2时,m2-1=3,m2=4,m=2.m2,m=2.当0m2时,log2m=3,m=23=8.0m0,b0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为.答案:256解析:根据约束条件绘制可行域,如图所示.将z=ax+by转化为y=-abx+zb,a0,b0,直线y=-abx+zb的斜率为负,最大截距对应最大
11、的z值,易知点A为最大值点.联立方程组3x-y-6=0,x-y+2=0,解得x=4,y=6,即A(4,6).目标函数z=ax+by的最大值为12,12=4a+6b,即2a+3b6=1,2a+3b=2a+3b62a+3b=136+ba+ab136+2baab=256,当且仅当ba=ab,且2a+3b6=1,即a=b=65时取等号.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列an满足:a1=23,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.(1)证明:数列an+1-an是等差数列;(2)求使1a1+1a2+1a3+1an52成立的最小的正整数n.答案:(1)证明由3(an+1-
12、2an+an-1)=2可得,an+1-2an+an-1=23,即(an+1-an)-(an-an-1)=23,故数列an+1-an是以a2-a1=43为首项,23为公差的等差数列.(2)解由(1)知an+1-an=43+23(n-1)=23(n+1),于是累加求和得an=a1+23(2+3+n)=13n(n+1),故1an=31n-1n+1,因此1a1+1a2+1a3+1an=3-3n+152,可得n5,故最小的正整数n为6.18.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将ADM沿AM折起,使得平面ADM平面ABCM.(1)求证:ADBM;(2)若E是线段DB的中点,
13、求AE与平面BDM所成角的正弦值.答案:(1)证明四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,AM=BM=2AD.AM2+BM2=AB2,AMBM.平面ADM平面ABCM,平面ADM平面ABCM=AM,BM平面ABCM,BM平面ADM.AD平面ADM,ADBM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=2,M(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D22,0,22,E24,22,24.AE=-324,22,24,MB=(0,2,0),MD=22,0,22.设平面BMD的法向量为n=(x
14、,y,z),则nMB=0,nMD=0,即2y=0,22x+22z=0,令z=1,得n=(-1,0,1).nAE=2.cos=nAE|n|AE|=277.AE与平面BDM所成角的正弦值为277.19.(12分)某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩,计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:学生序号12345678910数学1.312.325.736.750.367.749.052.040.034.3物理2.39.731.022.340.058.039.060.763.342.7学生序号11121314151617181920数学78.350.065.766.3
15、68.095.090.787.7103.786.7物理49.746.783.359.750.0101.376.786.099.799.0学校规定平均名次小于或等于40.0为优秀,大于40.0为不优秀.(1)在序号为1,2,3,4,5,6这6名学生中随机抽取2名,求这2名学生数学和物理都优秀的概率.(2)根据这次抽查数据,列出22列联表,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩和数学成绩有关?下面的临界值表和公式可供参考:P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n
16、(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d解:(1)在序号为1,2,3,4,5,6这6名学生中随机抽取2名,共有15种情况,数学和物理都优秀的有4名学生,从中随机抽取2名有6种情况.因此这2名学生数学和物理都优秀的概率为615=25.(2)根据条件列出列联表如下:数学物理合计物理优秀物理不优秀数学优秀426数学不优秀21214合计61420故K2的观测值k=20(412-22)26146145.48755.024.因此根据这次抽查数据可知,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关系.20.(12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a
17、b0)的离心率为22,且过点(2,2).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kACkBD=-b2a2.求OAOB的最值;求证:四边形ABCD的面积为定值.解:(1)由题意,知e=ca=22,4a2+2b2=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,椭圆的标准方程为x28+y24=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x2+2y2=8得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,(*)x1+x2=-4k
18、m1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.kOAkOB=-b2a2=-12,y1y2x1x2=-12.y1y2=-12x1x2=-122m2-81+2k2=-m2-41+2k2,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m2-81+2k2+km-4km1+2k2+m2=m2-8k21+2k2,-m2-41+2k2=m2-8k21+2k2,-(m2-4)=m2-8k2,4k2+2=m2.OAOB=x1x2+y1y2=2m2-81+2k2-m2-41+2k2=m2-41+2k2=4k2+2-41+2k2=2-41+2k2,-2=2-4OAOB-3)
19、上的最小值;(3)若对x-2,kf(x)g(x)恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)f(x)=aex(x+2),g(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.f(0)=2a,g(0)=b,2a=b,f(0)=a=g(0)=2,a=2,b=4,f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f(x)=2ex(x+2),由f(x)0得x-2,由f(x)0得x-3,t+1-2.当-3t-2时,f(x)在区间t,-2上单调递减,在区间-2,t+1上单调递增,f(x)min=f(-2)=-2e-2.当t-2时,f(x)在区间t,t+1上单调递增,f(x)min=f(t)=2et
20、(t+1);f(x)min=-2e-2,-3t0,得ex1k,xln1k;由F(x)0,得xln1k.F(x)在区间-,ln1k上单调递减,在区间ln1k,+内单调递增.当ln1ke2时,F(x)在区间-2,+)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=2e2(e2-k)-2,即1k0,满足F(x)min0.综上所述,满足题意的k的取值范围为1,e2.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修44:坐标系与参数方程22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P2,32作倾斜角为的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,
21、N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求1|PM|+1|PN|的取值范围.解:(1)由题意,直线l的参数方程为x=2+tcos,y=32+tsin(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1,得x2+y2-2x-4y+4=0,将y=sin,x=cos,2=x2+y2代入得,2-2cos-4sin+4=0.(2)把直线l的参数方程x=2+tcos,y=32+tsin(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos-sin)t+14=0,由0,得|2cos-sin|1.故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2|t1t2|=4|2cos-sin|(4,45. 选修45:不等式选讲23.(10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.解:(1)f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在区间0,+)内成立,因此a+b的最小值为5.
