1、模块卷(一)时间:120分钟分值:150分三角函数、向量、数列一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020贵州贵阳一中9月月考,5)在等差数列an中,an0(nN*),角的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(a2,a1+a3),则sin+2cossin-cos=()A.5B.4C.3D.2答案B由三角函数定义可知,tan=a1+a3a2,又知数列an为等差数列,an0,a1+a3=2a2,tan=2,则sin+2cossin-cos=tan+2tan-1=2+22-1=4.2.(2020广东佛山一中9月月考
2、,8)已知,为锐角,且tan=17,cos(+)=255,则cos2=()A.35B.25C.45D.7210答案C,0,2,+(0,).cos(+)=255,sin(+)=55.tan=17,sin=210,cos=7210.cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=2557210+55210=31010,cos2=2cos2-1=2910-1=45,故选C.3.(2019湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23,得到函数g(x)=Asin(x+)A0,0,|0,=2T=3.则g(x)
3、=2sin(3x+),又由g29=2可得2sin329+=2,则23+=2k+2,kZ,=-6+2k,kZ,而|2,=-6.g(x)=2sin3x-6,f(x)=2sin2x+6.f(x)的最小正周期为,选项A,C错误.对于选项B,令2x+6=k(kZ),所以x=k2-12,kZ,所以函数f(x)图象的对称中心为k2-12,0(kZ),所以选项B是错误的.当x6,3时,2x+62,56,所以f(x)在6,3上是减函数,所以选项D正确.故选D.4.(2018千校联盟12月模拟,10)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cosA+cosB),则ABC为()A.等腰直角三角形B
4、.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D由正弦定理得sinC=sinB(cosA+cosB),即sin(A+B)=sinB(cosA+cosB),也即sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinBcosB,所以(sinA-sinB)cosB=0,所以cosB=0或sinA=sinB,所以B=2或A=B.故ABC为直角三角形或等腰三角形,故选D.5.(2019山东济宁模拟,8)设数列an满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2且nN*),则a18=()A.259B.269C.3D.289答案B令bn=nan,则由2nan=
5、(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2且nN*),得2bn=bn-1+bn+1(n2且nN*),数列bn构成以1为首项,以2a2-a1=3为公差的等差数列,则bn=1+3(n-1)=3n-2,即nan=3n-2,an=3n-2n,a18=318-218=269.故选B.6.(2020九师联盟,6)已知an是正项等比数列,bn是等差数列,且a4=b5,则()A.a2+a6b3+b7B.a2+a6b3+b7C.a2+a6b3+b7D.a2+a6=b3+b7答案Aan是正项等比数列,bn是等差数列,a4=b5,由基本不等式可得,a2+a62a2a6=2a42=2a4=2b5=b3+b7,故选A
6、.解题关键利用基本不等式得到a2+a62a2a6是解答本题的关键.7.(2019湖南衡阳第八中学第二次月考,10)在等差数列an中,a1=21,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围是()A.-3,-218B.-72,-3C.-3,-218D.-72,-3答案C根据题意,知Sn=21n+n(n-1)d2.当且仅当n=8时,Sn取得最大值,S7S8,S9S8,则147+21d168+28d,189+36d-3,d|AC|2+|BC|2,cosC0,2C,ABC是钝角三角形.故选B.11.(2020河南尖子生8月联考,10)当x0,2时,不等式msinx(cos
7、x-3sinx)+32m+2恒成立,则实数m的取值范围为()A.-12,-14B.-1,-32C.-32,-12D.-1,-32答案D设f(x)=sinx(cosx-3sinx)+32,则f(x)=sinxcosx-3sin2x+32=12sin2x-31-cos2x2+32=12sin2x+32cos2x=sin2x+3.x0,2,2x+33,43,sin2x+3-32,1.由题意知mf(x)m+2在x0,2上恒成立,即mf(x)max-2,m-1,实数m的取值范围为-1,-32,故选D.12.(2019浙江温州普通高中适应性测试,10)已知数列an中的各项都小于1,a1=12,an+12-
8、2an+1=an2-an(nN*),记Sn=a1+a2+a3+an,则S10的取值范围为()A.0,12B.12,34C.34,1D.(1,2)答案Ban+12-2an+1=an2-an,an+1an=an-1an+1-20,an,an+1同号,又a1=12,an0,S10=(2a10-a9)+(2a9-a8)+(2a2-a1)+2a1-a10=(a102-a92)+(a92-a82)+(a22-a12)+2a1-a10=a102-a12+2a1-a10=a10-122+12,又a10(0,1),S1012,34,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2019山东烟台
9、调研,14)在ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC,若MN=xAB+yAC,则x+y=.答案13解析MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(AB-AC)=12AB-16AC,又MN=xAB+yAC,所以x=12,y=-16,故x+y=12-16=13.14.(2020四川南充高级中学摸底,14)函数y=cos(x+10)+cos(x+70)的最小值是.答案-3解析y=cos(x+10)+cos(x+10)+60=cos(x+10)+cos(x+10)cos60-sin(x+10)sin60=cos(x+10)+12cos(x+10)-32sin(x+10)=32cos(
10、x+10)-32sin(x+10)=3sin60-(x+10)=3sin(50-x)=-3sin(x-50).xR,当x=140+k360(kZ)时,函数取得最小值-3.15.已知点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则ABBC+BCCA+CAAB的值为.答案-25解析解法一(定义法):由题意可知ABC为直角三角形,且B=2,cosA=35,cosC=45.ABBC+BCCA+CAAB=BCCA+CAAB=45cos(-C)+53cos(-A)=-20cosC-15cosA=-2045-1535=-25.解法二(坐标法):易知ABC=90.如图,建立平面直角坐标系,则A(3
11、,0),B(0,0),C(0,4).AB=(-3,0),BC=(0,4),CA=(3,-4),ABBC=-30+04=0,BCCA=03+4(-4)=-16,CAAB=-33+0(-4)=-9.ABBC+BCCA+CAAB=-25.解法三(几何意义法):易知ABC=90.CA在BC方向上的投影为数量-|CB|,CA在AB方向上的投影为数量-|BA|,因此BCCA=-BC2=-16,CAAB=-AB2=-9,ABBC=0,ABBC+BCCA+CAAB=-25.解法四(性质法):易知ABC=90.ABBC+BCCA+CAAB=0+CA(BC+AB)=CAAC=-|AC|2=-25.解法五(平方法)
12、:AB+BC+CA=0,(AB+BC+CA)2=0,AB2+BC2+CA2+2ABBC+2BCCA+2CAAB=0.ABBC+BCCA+CAAB=-12(AB2+BC2+CA2)=-25.16.(2019湖南郴州第二次教学质量监测,16)已知数列an和bn满足a1a2a3an=2bn(nN*),若数列an为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列1bn的前n项和Sn=.答案2nn+1解析an为等比数列,且a1=2,a4=16,公比q=3a4a1=3162=2,an=2n,a1a2a3an=2122232n=21+2+3+n=2n(n+1)2.a1a2a3an=2bn,bn=n(n+1)2,1b
13、n=2n(n+1)=21n-1n+1,1bn的前n项和Sn=b1+b2+b3+bn=211-12+12-13+13-14+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020西南地区名校联盟8月联考,17)已知函数f(x)=12sin2xcos+sin2xsin+12cos2+12-22,其图象过点6,1.(1)求f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,求函数g(x)在0
14、,2上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=12sin2xcos+sin2xsin-12sin+12=12sin2xcos+1-cos2x2sin-12sin+12=12sin2xcos-12cos2xsin+12=12sin(2x-)+12.f(x)的图象过点6,1,12sin3-+12=1,即sin3-=1,3-=2k+2(kZ),=-2k-6(kZ).-20),则cos=2a2+2a25a5a=45.(5分)(2)|AB|=|AC|=2,|AM|=1,设|OA|=x(0x1),则|OM|=1-x.(8分)因为OB+OC=2OM,所以OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|
15、OA|OM|cos=2x2-2x=2x-122-12.因为0x1,所以当且仅当x=12时,OAOB+OCOA取最小值-12.(12分)19.(12分)(2019上海浦东二模,18)已知向量m=(2sinx,cos2x),n=(3cosx,1),其中0,若函数f(x)=mn的最小正周期为.(1)求的值;(2)在ABC中,若f(B)=-2,BC=3,sinB=3sinA,求BABC的值.解析(1)f(x)=mn=3sin2x+cos2x=2sin2x+6,f(x)的最小正周期为,T=22=,=1.(2)设ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c.f(B)=-2,2sin2B+6=-2,即sin
16、2B+6=-1,解得B=23.BC=3,a=3,sinB=3sinA,b=3a,b=3,由3sin23=3sinA得sinA=12,0A3,A=6,则C=6,a=c=3,BABC=cacosB=-32.20.(12分)(2020湖北沙市中学第二次周考,7)在锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(2c-a)cosB-bcosA=0.(1)求角B的大小;(2)已知c=2,AC边上的高BD=3217,求ABC的面积S.解析(1)(2c-a)cosB-bcosA=0,由正弦定理得(2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0,2sinCcosB=sinAcosB+sinB
17、cosA,即2sinCcosB=sin(A+B)=sinC.C0,2,sinC0,cosB=12,B0,2,B=3.(2)S=12acsinABC=12BDb,将c=2,BD=3217,sinABC=32代入,得b=73a.由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosABC=a2+4-2a.将b=73a代入上式,整理得a2-9a+18=0,解得a=3或6.当a=3时,b=7;当a=6时,b=27.又ABC是锐角三角形,a2m32(mZ)对nN*恒成立,求m的最大值.解析本题考查等差数列的概念;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2n2+
18、2n-(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1),化简得(n-1)(an-an-1-4)=0,即an-an-1=4,所以数列an是等差数列,其首项为1,公差为4,所以an=4n-3,Sn=n(1+4n-3)2=2n2-n.(2)由(1)知Snn=2n-1,所以S1+S22+Snn=1+3+2n-1=n2,令f(n)=n2+2n,可知f(n)单调递增,f(10)=102+210=1124,故存在唯一的自然数n=10符合要求.(3)由(1)知cn=2n(4n+4)=121n-1n+1,所以Tn=121-12+12-13+1n-1n+1=121-1n+1,注意到Tn=121-1n+1单调递增,所以TnT1=14,所以m3214,解得m8(mZ).所以m的最大值为7.
