1、直线、圆的位置关系基础篇【基础集训】考点一两直线的位置关系1.若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行,则m的值等于()A.0或-1或3B.0或3C.0或-1D.-1或3答案D2.(多选题)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是()A.若l1l2,则m=-1或m=3B.若l1l2,则m=3C.若l1l2,则m=-12D.若l1l2,则m=12答案BD考点二直线与圆的位置关系3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0
2、C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A4.直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是()A.-2,2B.-22,22C.-2-1,2-1D.-22-1,22-1答案D5.已知点A(1,0)和点B(0,1),若圆x2+y2-4x-2y+t=0上恰有两个不同的点P,使得PAB的面积为12,则实数t的取值范围是.答案12,92考点三圆与圆的位置关系6.设圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C1与圆C2的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内含答案A7.圆C1:(x-m)2+
3、(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为()A.2B.-5C.2或-5D.不确定答案C8.圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则圆C的方程为()A.x2+y2+4x+2=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0D.x2+y2-4x=0答案D9.两圆C1:x2+y2+4x+y+1=0,C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|=.答案455教师专用题组【基础集训】考点一两直线的位置关系1.(2020广东珠海9月摸底测试,11)已知点M(-1,0),N(1,0),若直线l:x+y=m上存在点P使得PMP
4、N,则实数m的取值范围是()A.-1,1B.(-1,1)C.-2,2D.(-2,2)答案C直线l上存在点P,使PMPN,以MN为直径的圆与直线l有公共点,易知以MN为直径的圆的圆心为(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线l的距离d=|m|21,解得-2m2,故选C.2.若直线l1:x+a2y+6=0与直线l2:ax+3y+2a=0互相垂直,则实数a的值为.答案0或-13解析l1l2,1a+3a2=0,解得a=0或a=-13.考点二直线与圆的位置关系1.(2020辽宁大连第一中学月考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x-y+6=0,在直线l上任取一点P向圆C作切线,切点为A,B,连接A
5、B,则直线AB一定过定点()A.-23,23B.(1,2)C.(-2,3)D.-43,43答案A如图所示,设点P(x0,y0),则x0-y0+6=0.以CP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,又圆C:x2+y2=4,作差可得直线AB的方程为xx0+yy0=4,将y0=x0+6代入可得(x+y)x0+6y-4=0,令x+y=0,6y-4=0x=-23,y=23,故直线AB过定点-23,23.思路分析设点P(x0,y0),根据圆系知识可求出直线AB的方程,再根据点P(x0,y0)在直线l上,可得x0,y0的关系,代入直线AB的方程,消去y0,根据关于x0的方程恒成立即可求出定点坐
6、标.方法总结与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.2.(2018山西太原五中4月模拟,8)已知kR,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为()A.15B.9C.1D.-53答案B由题意得,圆心到直线x+y=2k的距离d=|-2k|
7、2k2-2k+3,且k2-2k+30,解得-3k1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,ab取得最大值9.故选B.3.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为23,则t=a1+2b2取得最大值时a的值为()A.12B.32C.34D.34答案D由已知可得圆心到直线2ax+by-2=0的距离d=24a2+b2,则直线被圆截得的弦长为24-44a2+b2=23,化简得4a2+b2=4.t=a1+2b2=122(22a)1+2b2142(22a)2+(1+2b2)2=14
8、2(8a2+2b2+1)=942,当且仅当8a2=1+2b2,4a2+b2=4时等号成立,即t取最大值,此时a=34(舍负).故选D.方法点拨在解直线与圆相交的弦长问题时,经常采用几何法.当直线与圆相交时,半径长、半弦长、弦心距所构成的直角三角形在解题中起到关键作用,解题时要注意将它和点到直线的距离公式结合起来使用.考点三圆与圆的位置关系1.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离答案B圆M:x2+(y-a)2=a2(a0)的圆心为M(0,a),半径r1=a,圆心M
9、到直线x+y=0的距离d=|a|2,由题意知2r12-d2=2a2-a22=22,所以a=2,M(0,2),r1=2,又圆N的圆心为N(1,1),半径r2=1,|MN|=(0-1)2+(2-1)2=2,r1-r2|MN|r1+r2,两圆相交.2.(2019江苏宜兴中学期中)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为.答案x2+y2-x+7y-32=0解析设经过两圆的交点的圆的方程为x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0,即x2+y2+61+x+61+y-4+281+=0,所以圆心坐标为-31+,-31+.又圆心在直
10、线x-y-4=0上,所以-31+31+-4=0,解得=-7,故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.3.(2019北京清华附中高二期中,13)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.答案4解析由题意得圆O1的圆心为O1(0,0),半径为5,圆O2的圆心为O2(-m,0),半径为25,根据两圆相交于A,B时,圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得5|m|0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2
11、+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b答案ABC教师专用题组【综合集训】考法一两直线的位置关系1.(2018浙江9+1高中联盟期中,3)“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A当m=-1时,两直线不平行.当m-1时,由两直线平行可得-2m+1=-m3,且-4m+123,解得m=2或m=-3,“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的充分不必要条件,故选A.2.(2018浙江高考模拟卷,11)已知直线l1:ax+y+2=0,l2:(a2
12、-3)x+2y+1=0,若aR,则直线l1过定点;若l1l2,则实数a=.答案(0,-2);3或-1解析在直线l1的方程中,令x=0,得y=-2,则直线l1过定点(0,-2).由两直线平行得-a=-a2-32,解得a=3或-1,经检验知此时两直线平行.3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=0解析将圆的方程化为标准方程,即(x+1)2+y2=1,可得圆心坐标为(-1,0).直线x+y-2=0的斜率为-1,与直线x+y-2=0垂直的直线的斜率为1.则所求直线方程为y-0=1(x+1),即x-y+1=0.解题分析本
13、题考查两直线垂直与斜率的关系,是基础题.考法二直线和圆的位置关系1.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),6)在平面直角坐标系xOy中,以(0,1)为圆心,且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是()A.x2+(y-1)2=2B.x2+(y-1)2=4C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16答案C直线mx-y-2m-1=0过定点(2,-1),故圆心到定点的距离为22,以此为半径,圆的面积最大.故选C.2.(2017天津河西一模,6)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,若其渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则此双曲线的离心率等于()
14、A.12B.2C.3D.2答案B取双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线y=bax,即bx-ay=0.将圆x2+y2-4y+3=0化为x2+(y-2)2=1,则圆心坐标为(0,2),半径r=1.渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,|2a|b2+a2=1,即3a2=b2.该双曲线的离心率e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+3=2.故选B.解题分析熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键.3.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD
15、,则四边形ABCD的面积为.答案206解析圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则AC=2r=10,又点(3,5)到圆心的距离为1,BD=2r2-1=46,又易知ACBD,四边形ABCD的面积为121046=206.考法三圆和圆的位置关系1.(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为.答案(x+3)2+(y+3)2=18解析将x2+y2+10x+10y=0化为标准方程为(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心坐标为(-5,-5),半径为52.由题意可知圆心C在AO的垂直平分线y=-3上,因为圆心C在点(-5,
16、-5)与原点的连线y=x上,所以点C的坐标为(-3,-3),则圆C的半径r=(-3-0)2+(-3-0)2=32.所以圆C的方程为(x+3)2+(y+3)2=18.2.(2017天津十二区县二模,12)已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B两个不同的点,且直线AB与直线3x-y+1=0垂直,则实数a=.答案3解析由题意,两圆相减可得AB:2x+2ay-a2+9=0,直线AB与直线3x-y+1=0垂直,-1a3=-1,a=3.解题分析本题考查圆与圆的位置关系,考查两条直线垂直位置关系的运用,属于中档题.3.(2019江苏如东高级中学高三第二次学情检测,13)在平面
17、直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=r2(r0)与圆M:(x-2)2+(y-23)2=4相交于A,B两点,若在直线AB上存在一点P,使POPM0成立,则r的取值范围是.答案(2,25解析圆O与圆M相交于A,B两点,|r-2|OM|r+2.又O(0,0),M(2,23),|r-2|4r+2,2r6.直线AB上存在一点P,使POPM0成立,直线AB与线段OM相交,联立两圆的方程x2+y2=r2,(x-2)2+(y-23)2=4,-可得直线AB的方程为4x+43y-12-r2=0.AB与OM相交,则点M(2,23)在直线AB的右上方,因此8+24-12-r20,r220,0r25.又2r6,2r25.故r的取值范围为(2,25.
